求证(a的平方+2)(b的平方+2)(c的平方+2)大于等于9(ab+bc+ac)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 03:01:11

"正实数 a,b,c" 求证(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≥3(a+b+c)^2.≥ 9(ab+bc+ca)
先证 (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≥3(a+b+c)^2.
(一)配方法
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)-3(a+b+c)^2
=(a^2+2)(bc-1)^2+(a^2+2)(b-c)^2/2+3(2-ab-ac)^2/2≥0
(二)局部不等式
因为
(b^2+2)(c^2+2)-3[2+(b+c)^2]/2.
=(bc-1)^2+3(b-c)^2/2>=0
所以
(b^2+2)(c^2+2)>=3[2+(b+c)^2]/2.
再由柯西不等式
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>=3(a^2+2)*[1+(b+c)^2/2]
>=3(a+b+c)^2
∵(b-c)^2+2(bc-1)^2≥0,
∴(b^2+2)(c^2+2)≥3[1+(b+c)^2/2]
由Cauchy不等式知
(a^2+2)[1+(b+c)^2/2]≥(a+b+c)^2.
∴(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)
≥3(a+b+c)^2
≥9(ab+bc+ca).
p.s (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
=0.5[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] ≥0
=> (a+b+c)^2≥3(ab+bc+ca)

已知a,b,c均为正实数,求证a的平方+b的平方+c的平方大于等于ab+bc+ac 已知a和b为实数,求证：a的平方＋b的平方+c的平方大于等于ab＋bc＋ac 已知ab为实数,求证a的平方+b的平方大于等于2ab 数学题：a的平方+b的平方+c的平方+2ab+2bc+2ac abc为实数求证 a平放+b平方+c平方大于等于ab+bc+ac 在三角形abc中,ab等于ac,b等于2倍角a,求证;ab的平方减bc的平方等于ab×bc 求证a平方+b平方+c平方大于等于a*根号bc+b*根号ac+c*根号ab 已知a-b等于2+根号3,b-c等于2-根号3,求a的平方+b的平方+c的平方-ab-bc-ac a的平方加上b的平方等于1,b的平方加上c的平方等于2,a的平方加上c的平方等于2,问ab+bc+ac的最小值是多少已知A的平方+B的平方+C的平方-AB-bc-AC等于0,求证A等于B等于C 已知,a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ac.求证,a=b=c 已知a b c均为正实数且ab+ac+bc=1,求证：(a+b+c)的平方大于等于3