作业帮求一个有关定积分公式的证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/31 07:06:21
求一个有关定积分公式的证明
I[n]=∫[0,π/2](sin^n(x))dx=∫[0,π/2](cos^n(x))dx=(n-1)/n*I[n-2]
这应该是个序列,会不会叫“伊萨克牛顿序列”……
一直到第三个等号之前我都理解,最后一步如何证明?
本人将I1到I5都求出来了,可是找不到规律……
求不定积分时,我一直用降次的方法求,但是对于任意n好像没有公用的降次方法.
此外,拒绝数学归纳法!
明白了
∫(sinx)^ndx
=∫[(sinx)^(n-1)sinxdx]
=(sinx)^(n-1)cosx-∫[-cosx*(n-1)*(sinx)^(n-2)cosxdx]
=(sinx)^(n-1)cosx+∫[(n-1)(sinx)^(n-2)-(n-1)(sinx)^n]dx
所以(n-1)*I[n-2]-n*I[n]=0
证毕
I[n]=∫[0,π/2](sin^n(x))dx=∫[0,π/2](cos^n(x))dx=(n-1)/n*I[n-2]
这应该是个序列,会不会叫“伊萨克牛顿序列”……
一直到第三个等号之前我都理解,最后一步如何证明?
本人将I1到I5都求出来了,可是找不到规律……
求不定积分时,我一直用降次的方法求,但是对于任意n好像没有公用的降次方法.
此外,拒绝数学归纳法!
明白了
∫(sinx)^ndx
=∫[(sinx)^(n-1)sinxdx]
=(sinx)^(n-1)cosx-∫[-cosx*(n-1)*(sinx)^(n-2)cosxdx]
=(sinx)^(n-1)cosx+∫[(n-1)(sinx)^(n-2)-(n-1)(sinx)^n]dx
所以(n-1)*I[n-2]-n*I[n]=0
证毕
用两次分部积分法推导得出
∫[0,π/2](sin^n(x))dx=∫[0,π/2](sinx)(sin^(n-1)(x))dx
再问： 详细点可以么？sin^(n-1)(x)我还是不会积分……。 还有，是不是应该分成sin^2(x)和sin^(n-2)(x)，不然最后哪来的I[n-2]啊？
再答： sin^(n-1)(x)=sinx*sin^(n-2)x再做一次分部积分 因为正弦余弦的微积分运算互逆，所以分部积分后积分号外的部分能够约去
再问： 抱歉，可以有完整的证明吗？
∫[0,π/2](sin^n(x))dx=∫[0,π/2](sinx)(sin^(n-1)(x))dx
再问： 详细点可以么？sin^(n-1)(x)我还是不会积分……。 还有，是不是应该分成sin^2(x)和sin^(n-2)(x)，不然最后哪来的I[n-2]啊？
再答： sin^(n-1)(x)=sinx*sin^(n-2)x再做一次分部积分 因为正弦余弦的微积分运算互逆，所以分部积分后积分号外的部分能够约去
再问： 抱歉，可以有完整的证明吗？