一道等差数列的题,将正三角形ABC分割成n^2（n大于等于2,n属于正整数）个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 09:00:41

一道等差数列的题,
将正三角形ABC分割成n^2（n大于等于2,n属于正整数）个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的3个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f（n）,则f（n）=?
谢谢1楼的兄弟了，可是这道题的答案是(n+1)(n+2)/6，希望有牛人能帮忙解答下,这是当n=2和n=3时的图

由分成n平方个,则各边分成n段,边长变为原△ABC的1/n.
以平行AC为例
AB上的点,首项a,等差(b-a)/n：a,[(n-1)a+b]/n, [(n-2)a+2b]/n, [(n-3)a+3b]/n,., [a+(n-1)b]/n,b
CB上的点,首项c,等差(b-c)/n：c,[(n-1)c+b]/n, [(n-2)c+2b]/n, [(n-3)c+3b]/n,., [c+(n-1)b]/n,b
可以看到,有n+1列,除了最后一个是点B外,其他是一组平行线,且平行线上的点为等差数列.假设各平行线等差数列首项在AB上,最后一项在CB上
则除了点B,由公式S=n(a1+an)/2,这n列平行线和分别为：
(n+1)(a+c)/2,
n[(n-1)a+(n-1)c+2b]/n/2,
(n-1)[(n-2)a+(n-2)c+2*2b]/n/2,
(n-2)[(n-3)a+(n-3)c+2*3b]/n/2,
(n-3) [(n-4)a+(n-4)c+2*4b]/n/2,
.
.
.
3[2a+2c+2(n-2)b]/n/2,
2[a+c+2*(n-1)b]/n/2
b（点B）
发现可以分别对含a、b、c项相加.
F(a)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]a/2n.
F(c)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]c/2n.
F(b)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]b/n+b=(n+1)b.
同理,平行BC、AB情况分别为
G(b)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]b/2n.
G(c)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]c/2n.
G(a)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]a/n+a=(n+1)a.
和
H(a)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]a/2n.
H(b)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]b/2n.
H(c)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]c/n+c=(n+1)c.
∴f(n)=[F(a)+G(a)+H(a)+F(b)+G(b)+H(b)+F(c)+G(c)+H(c)]/3
=[S(n)+n(n+1)]/3n
此时,只要处理数列{Dn},dn=(n+1)n的前n项和S(n)就可以了.

将正△ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了n=2，3的情形），在每个三从一个N（N大于等于4）边形的某个顶点出发,分别连接其余各点,能把这个多边形分割成（）个三角形. 如何将一个正三角形分割成9个11个10个小正三角形?（图） N个呢?（画法）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（　　）我们知道过n边形的一个顶点可以做（n-3）条对角线,这（n-3）条对角线把三角形分割成（n-2）个三角形,这是为什么?在求证：当n属于正整数,且大于等于2时,3的n次幂大于[2的（n-1）次幂乘（n+2）] 用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n个正六边形，则m，n满足的关系式是（　　）将两个顶点坐标在抛物线y^2=2px (p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y的平方等于2px（p大于0）上,求这个正三角形的边长正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y的平方等于2px（p大于0）上,求这个正三角形的面积如(1)1!+2!+3!+…+n!(n大于等于4,n属于正整数)的个位数字为----- (答:3); 正三角形具有独特的轴对称性,你能用3种不同的分割方法,将下面的每个正三角形分割成4个等腰三角形吗?