作业帮【数学】如何用积分证明正圆台的体积公式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 05:51:01
【数学】如何用积分证明正圆台的体积公式
如题~给个思路（给式子更好……）
如题~给个思路（给式子更好……）
计算方法很多,最简单的方法如下：
设圆台水平平方,上底半径为R₁, 下底半径为R₂,圆台高为H；
下底圆心为坐标原点,x轴水平向右,y轴垂直向上.
方法：圆盘法 (Disk Method)
在上下底之间的任何高度选一个圆盘,圆盘的半径为r,(R₁< r < R₂)
圆盘的厚度为dy,圆盘的体积是 dV = πr²dy
运用相似三角形的相似比,可得：
H : (R₂- R₁) = y : (R₂- r)
y = (R₂- r)H/(R₂- R₁), dy = -Hdr/(R₂- R₁)
dV = πr²dy = -πHr²dr/(R₂- R₁)
V = -πH/(R₂- R₁)×∫r²dr （r ：R₂→ R₁）
= -⅓πHr³/(R₂- R₁) （r ：R₂→ R₁）
= -⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R³₁- R³₂】
= ⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R³₂- R³₁】
= ⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R₂- R₁】×【R²₁+ R₁R₂+ R²₂】
= ⅓πH【R²₁+ R₁R₂+ R²₂】
设圆台水平平方,上底半径为R₁, 下底半径为R₂,圆台高为H；
下底圆心为坐标原点,x轴水平向右,y轴垂直向上.
方法：圆盘法 (Disk Method)
在上下底之间的任何高度选一个圆盘,圆盘的半径为r,(R₁< r < R₂)
圆盘的厚度为dy,圆盘的体积是 dV = πr²dy
运用相似三角形的相似比,可得：
H : (R₂- R₁) = y : (R₂- r)
y = (R₂- r)H/(R₂- R₁), dy = -Hdr/(R₂- R₁)
dV = πr²dy = -πHr²dr/(R₂- R₁)
V = -πH/(R₂- R₁)×∫r²dr （r ：R₂→ R₁）
= -⅓πHr³/(R₂- R₁) （r ：R₂→ R₁）
= -⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R³₁- R³₂】
= ⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R³₂- R³₁】
= ⅓【πH/(R₂- R₁)】×【R₂- R₁】×【R²₁+ R₁R₂+ R²₂】
= ⅓πH【R²₁+ R₁R₂+ R²₂】