如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点．（1）求直线BC1与平面EFD1所成

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 01:05:04

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点．（1）求直线BC1与平面EFD1所成角的正

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AD、DC的中点．
（1）求直线BC₁与平面EFD₁所成角的正弦值；
（2）设直线BC₁上一点P满足平面PAC∥平面EFD₁，求PB的长．

（1）建立以D点为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD₁所在直线为z轴的空间直角坐标系
则D₁（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），E（1，0，0），C₁（0，2，2），F（0，1，0）．

BC1=（-2，0，2），

D1E=（1，0，-2），

EF=（-1，1，0）．
设平面D₁EF的法向量

n=（x₁，y₁，z₁），
则

n.

EF＝0

n.

D1E＝0，
即

?x1+y1＝0
x1?2z1＝0
令x₁=2，则

n=（2，2，1）…（3分）
∴cos＜

n，

BC1＞=
?2
2
2．3=-

2
6
∴直线BC₁与平面EFD₁所成角的正弦值为

2
6…..…..（5分）
（2）设

BP=λ

BC1=（-2λ，0，2λ）
则

AP=

AB+

BP=（-2λ，2，2λ），

n.