在数列{an}中，Sn为其前n项和，满足Sn=kan+n2-n（k∈R，n∈N*）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 01:01:39

在数列{a_n}中，S_n为其前n项和，满足S_n=ka_n+n²-n（k∈R，n∈N*）．
（Ⅰ）若k=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n-2n-1}为公比不为1的等比数列，求S_n．

（1）当k=1时，S_n=a_n+n²-n，
∴S_n-1=n²-n，（n≥2），
∴S_n=（n+1）²-（n+1）=n²+n（n≥1）
∴当n=1时，a₁=S₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n（n∈N^*）．
（ II）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=ka_n-ka_n-1+2n-2，
∴（k-1）a_n=ka_n-1-2n+2，a₁=S₁=ka₁，
若k=1，则a_n-2n-1=-1，
从而{a_n-2n-1}为公比为1的等比数列，不合题意；
若k≠1，则a₁=0，a₂=
2
1-k，a₃=
4-6k
(1-k)2，a₁-3=-3，a₂-5=
5k-3
1-k，a₃-7=
-7k2+8k-3
(k-1)2，
由题意得，(a2-5)2=（a₁-3）（a₃-7）≠0，
∴k=0或k=
3
2，
当k=0时，S_n=n²-n，a_n=2n-2，a_n-2n-1=-3，不合题意；
当k=
3
2时，a_n=3a_n-1-4n+4，从而a_n-2n-1=3[a_n-1-2（n-1）-1]，
∵a₁-2×1-1=-3≠0，a_n-2n-1≠0，{a_n-2n-1}为公比为3的等比数列，
∴a_n-2n-1=-3ⁿ，
∴a_n=2n-3ⁿ+1，
∴S_n=n²+2n-
3n+1
2+
3
2．

在数列an中,Sn为其前n项和,满足Sn=Kan+n^2-n （1）若K=1 求通项公式设数列{an}前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn=2Sn-n2，n∈N*．数列{an}中，a1=13，前n项和Sn满足Sn+1-Sn=（13）n+1（n∈N*）．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列{bn}满足an=4log2bn+3，n∈N*．数列{an}共有k项,其前n项和Sn=2n^2+n（n∈[1,k],n为正整数）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an+n2-4n（n=1，2，3，…）．已知数列{an}中，其前n项和为Sn，且n，an，Sn成等差数列（n∈N*）．已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），数列{bn}为等比数列，且满足b1=a1，2b3=b4 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+n-4（n∈N*）．已知数列{an}满足a1=0，an+1+Sn=n2+2n（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，则此数列的通项公式为已知数列{an}满足a1=1，an+1=Sn+（n+1）（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n≥2，n∈N*．