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设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0．f（x）在[0，1]上的最小值是-1，试证至少存在一点ξ∈（

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 21:04:31
设f（x）在[0，1]上二阶可导，且f（0）=f（1）=0．f（x）在[0，1]上的最小值是-1，试证至少存在一点ξ∈（0，1），使f″（ξ）≥8．
证明：设f（x）在点x0处取得极小值，即f（x0）=-1，则f′（x0）=0
由题意，f（x）在[0，x0]和[x0，1]都满足拉格朗日中值定理的条件
∴分别至少存在点ξ1∈（0，x0）和ξ2∈（x0，1），使得

f(x0)−f(0)
x0＝f′(ξ1)，
f(1)−f(x0)
1−x0＝f′(ξ2)
而f（0）=f（1）=0
∴f′(ξ1)＝−
1
x0，f′(ξ2)＝
1
1−x0
又由f（x）在[0，1]上二阶可导
∴f′（x）在[ξ1，ξ2]上也满足拉格朗日中值定理
即至少存在点ξ∈（ξ1，ξ2）⊂（0，1），使得

f′(ξ2)−f′(ξ1)
ξ2−ξ1＝f″(ξ)
∴f″(ξ)＝
1
x0(1−x0)•
1
ξ2−ξ1
而x0(1−x0)＝−(x0−
1
2)2+
1
4≤
1
4
ξ2-ξ1≤
1
2
∴f″（ξ）≥4•2=8
得证
设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导且f（0）=f（1）=0，f（12）=1，试证明至少存在一点ξ∈（0 高数证明题设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）上可导,且f(1)=0,试ξ证：至少存在一点ξ∈(0,1),使f'( 设函数f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=f（1）=0，证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使得f 设f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且f(1)=0,试证明至少存在一点ζ∈（0,1）,使f′(ζ)=-2f 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1）内可导,且f(1)=0,证明在（0,1）内至少存在一点&, 设f（x）在【0,1】上连续,（0,1）内可导,且f（0）=f（1）=1,证明：在（0,1）内至少存在一点ξ,使f（ξ） 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0 证明至少存在一点g∈(0,1)使得f’（g）=- 2f 设f（x）在[0,1]上具有一阶连续导数,f（0）=0,证明至少存在一点ξ∈[0,1]使f（ξ）的导数=2∫(0,1)f 设函数f（x）在[0，1]上可导，且满足f（1）=0，求证：在（0，1）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）=-f(ξ)ξ 设f（x）在【0,1】上连续,在（0,1）可导,且f（1）=0,证明至少存在一点a,a属于（0,1）,使得f ' (x) 证明：若f(x)有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,f(x)/x→0（x→0）,则在（0,1）内至少存在一点ξ,使f' 设函数f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且f(2)=0,F(x)=(x-1)f(x) 证明:至少存在一点ξ