作业帮高中几何大题的最后一个小问.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 11:13:28
高中几何大题的最后一个小问.
如图,已知圆C:(x-1)平方+y平方=r平方(r>1),设M为圆C与x轴负半轴的交点,过M作圆C的弦MN,并使它的中点P恰好落在y轴上,
求：过点P（0,2）的直线l与y平方=4x相交于两个不同的点E,F,若向量CE×向量CF大于0,求直线l的斜率的取值范围
如图,已知圆C:(x-1)平方+y平方=r平方(r>1),设M为圆C与x轴负半轴的交点,过M作圆C的弦MN,并使它的中点P恰好落在y轴上,
求：过点P（0,2）的直线l与y平方=4x相交于两个不同的点E,F,若向量CE×向量CF大于0,求直线l的斜率的取值范围
因为 M（1-r,0）,P（0,2）,且 P 为MN的中点,
所以 N（r-1,4）,代入圆的方程可得 (r-2)^2+16=r^2 ,解得 r=5 ,
因此 M（-4,0）,N（4,4）.
设L方程为 y=kx+2 ,代入 y^2=4x 得 (kx+2)^2=4x ,
化简得 k^2x^2+4(k-1)x+4=0 ,
设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则 x1+x2= -4(k-1)/k^2 ,x1*x2=4/k^2 ,
由 4y=k*4x+8 得 4y=ky^2+8 ,所以 ky^2-4y+8=0 ,
因此 y1*y2=8/k .
因为L与曲线有两个不同交点,所以判别式=16-32k>0 ,
解得 k0 ,
两端同乘以 k^2 得 4+4(k-1)+k^2+8k>0 ,
化简得 k^2+12k>0 ,
因此 k< -12 或 k>0 .（2）
由（1）（2）得 k 的取值范围是 k< -12 或 0
所以 N（r-1,4）,代入圆的方程可得 (r-2)^2+16=r^2 ,解得 r=5 ,
因此 M（-4,0）,N（4,4）.
设L方程为 y=kx+2 ,代入 y^2=4x 得 (kx+2)^2=4x ,
化简得 k^2x^2+4(k-1)x+4=0 ,
设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则 x1+x2= -4(k-1)/k^2 ,x1*x2=4/k^2 ,
由 4y=k*4x+8 得 4y=ky^2+8 ,所以 ky^2-4y+8=0 ,
因此 y1*y2=8/k .
因为L与曲线有两个不同交点,所以判别式=16-32k>0 ,
解得 k0 ,
两端同乘以 k^2 得 4+4(k-1)+k^2+8k>0 ,
化简得 k^2+12k>0 ,
因此 k< -12 或 k>0 .（2）
由（1）（2）得 k 的取值范围是 k< -12 或 0