广义托勒密定理如何证明?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 10:26:45

广义托勒密定理如何证明?
凸四边形ABCD的两组对边乘积的和大于等于它的两条对角线的乘积.
如何证明呢?

在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
则三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC
又因为BE+ED>=BD
所以命题得证
当且仅当E点落在线段BD上时,等号成立,此时ABCD内接于圆.

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