若矩阵A的秩为3,那么是不是A中任意3个向量都是线性无关的?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 04:30:00

显然不一定,比如说是5×5的矩阵,左上角为一个3×3的秩为3的矩阵,其余的全为0,显然第4和第5列（行）线性相关.
再问：是任意3组向量，不是2组。还有，你确定第四和第五会线性相关吗？
再答：那就来个6×6的矩阵呗。我都说了除了左上角的那个矩阵，其余元素都为0了，也就是第四第五都是零向量了，明白吗？
再问：你的意思是说前三个线性无关，后三个线性相关？可是后三个为零也不一定就线性相关呀？
再答：任何向量都与零向量线性相关。当然零向量与零向量也必然线性相关。弱弱地问一句，你学过线性代数吗？
再问：

没学过我问什么，为什么后两行也会线性无关呢？
再答： β1和β2当然是线性无关的，但进行行列式的变换后变成全零后还是β1和β2吗？这一点难道绕不过来？
再问：那么就是说如果秩为2，原来的那个矩阵任意两个向量组都会线性无关是吗？
再答：不一定，任意两个不共线的向量线性无关，有可能虽然秩为2，但有部分向量是相等向量，那就不是线性无关的，可以说只要不相等就线性无关。当然如果包含零向量也不行，因为零向量和任何向量都线性相关。
再问：线代真心不容易，还是谢谢了！
再答：其实线性代数很简单，没有比较难的逻辑。只要用心去理解，把很多性质记住就好了。而且线代包含的东西也不多（行列式、矩阵、秩、线性关系、方程组等都是想通的，一条线。包括后面的二次型，相似等也都是围绕着秩在转，把秩的概念好好理解，把有关秩的性质好好整理一下理解，最好记住，然后多应用，很容易上手的）

假设s×n矩阵A的秩为r.证明Ax=θ的任意n-r个线性无关的解都是其基础解析. 已知4×3矩阵A的列向量组线性无关,则A转置矩阵秩等于多少线性代数任意n-1个向量都线性无关是否能推出n个向量都线性无关,若推不出,为什么矩阵相似对角化的时候若特征值a对应特证明：若n阶矩阵A的列向量线性无关,则A^2的列向量也线性无关. 证明:若n阶矩阵A的列向量线性无关,则A^2的列向量也线性无关. A是4乘以3的矩阵,A的列向量组线性无关,求A的秩若n阶矩阵A有n个属于特征值1的线性无关的向量,怎么证此时A为n阶单位矩阵. 命题：若任何一个n维非零向量都是矩阵A的特征向量,则A有n个线性无关的特征向量.为什么 A是4*3的矩阵,列向量组线性无关,B为三阶可逆矩阵,则AB的秩是多少若5远线性方程组AX=b的基础解系中含有2个线性无关的解向量,则系数矩阵A的秩为多少证明：秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组. 证明秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.