用一根不可拉伸的线两头相接围成一个封闭图形,证明当这个图形为圆的时候面积最大.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 19:58:20

不可拉伸的线,即周长固定.用极限的方法:
以圆的正n边形表示圆的面积:
设圆的半径为r,内接一个正n边形,它的任意一边所对的圆心角为2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S=(1/2)a*b*sinC),然后得到这个正n六边形的面积:
Sn=(n/2)r²sin(2π/n)
当n无限增大时,内接正n边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数的极限):
当x→0时,lim[(sinx)/x]=1
[题外话:这个极限的几何意义是,当x无限减小时,y=sinx的图象与直线y=x是重合的,在这种情况下,我们可以用x的值来代替sinx,以在某些领域做近似计算]
把Sn变形:
Sn=πr²lim[sin(2π/n)/(2π/n)]
于是,当n→∞时,2π/n→0
lim[sin(2π/n)/(2π/n)]=1
Sn=πr²
再问：其它不规则图形呢？
再答：就是因为在取极限的的时候，本身就是不规则图形的，就是一个渐进的过程，比如四边，五边，n边形。
再问：那比如椭圆和心形又怎么比较呢？
再答：你想的很全面，椭圆跟心形，那肯定是椭圆大了，心形的上不还是凹进去的，对于一根线来说，如果有很多地方凹进去的话，它浪费的面积肯定是很多的，只有是在往外凸的时候最能充分利用。太细我也说不大清楚
再问：这倒不一定，要看椭圆的离心率。不过非常感谢你回答我的问题！具体的答案还是去问老师好了。

小明要用一根长62.8厘米的铁丝围成一个平面图形,这个图形的面积最大是多少平方厘现有一根长为16CM的绳子首尾相接,在平面上围一个图形你能围一个面积大于16平方米的圆形吗这个圆的面积如何证明,周长相等的封闭平面图形,圆的面积最大. 用一根铁丝围成的图形中面积最大的是什么图形啊~~~! 请问用一根25米长的绳子围成一个四边形,要使这个四边形面积最大,围成的图形是什么图形?面积最大是多少请问用一根25米长函数y=cosx,x属于[0,2pai]的图像和直线y=1围成一个封闭的平面图形,这个封闭图形的面积若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为? 由函数y=2sin3x（π6≤x≤5π6）与函数y=2（x∈R）的图象围成一个封闭图形，则这个封闭图形的面积为（　　）长度相等的线段,所围成的封闭图形的面积是否相等,求证明有一根10米长的铁丝,围成一个什么图形面积最大一根36米长的铁丝围成一个最大的正方形,这个正方图形的边长是多少CM,面积是多少平方厘米? 用一根铁丝分别围成下面的图形,其中（ )的面积最大A长方形B正方形C圆