已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+…+an，B（n）=a2+a3+…+an+1，C（n）=a3+a

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 23:52:46

已知数列{a_n}的各项均为正数，记A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（1）若a₁=1，a₂=5，且对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．
（2）证明：数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

（1）∵对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，
∴B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，亦即a_n+2-a_n+1=a₂-a₁=4．
故数列{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，于是a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
（2）证明：（必要性）：若数列{a_n}是公比为q的等比数列，对任意n∈N^*，有a_n+1=a_nq．由a_n＞0知，A（n），B（n），C（n）均大于0，于是

B(n)
A(n)=
a2+a3+…+an+1
a1+a2+…+an=
q(a1+a2+…+an)
a1+a2+…+an=q，

C(n)
B(n)=
a3+a4+…+an+2
a2+a3+…+an+1=
q(a2+a3+…+an+1)
a2+a3+…+an+1=q，
即
B(n)
A(n)=
C(n)
B(n)=q，
∴三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列；
（充分性）：若对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列，则
B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），
于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，即a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），亦即a_n+2-qa_n+1=a₂-qa₁．
由n=1时，B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，从而a_n+2-qa_n+1=0．
∵a_n＞0，
∴
an+2
an+1=
a2
a1=q．故数列{a_n}是首项为a₁，公比为q的等比数列．
综上所述，数列{a_n}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N^*，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列．

已知数列an的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+···+an,A(n)=a2+a3···+an+1,C(n)=a3+ 给定数列an={a1,a2,a3.an},bn=a（n+1）-an 已知各项为正数的数列{an}满足a1^2+a2^2+a3^2+……an^2=3/1/(4n^3-n）（n是正整数）,求数已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1 数列证明题：设数列{an}满足：A(n)=a1+a2+~+an,B(n)=a2+a3+~+a(n+1),C(n)=a3+ 已知各项均为正数的数列{an}满足（an+1）²-an+1×an-2an²=0,且a3+2是a2,a 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=(an²+an)/2,（1）求a1,a2,a3的值；已知数列｛an｝满足：a1=1,且an-a（n-1）=2n.求a2,a3,a4.求数列｛an｝通项an 已知数列an的前n项和为Sn=n^2+2n,求和:1/(a1*a2)+1/(a2*a3)+...+1/(an*a(n+1 数列不等式已知an=2^n-1 前一个n为下标求证：a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个已知数列｛an｝中,a1+a2+a3+……+an=3^n-2^n/2^n（n=1,2,……）求证｛an｝是等设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列{根号Sn}是公差为2的等差数列.（1）求数列