已知数列{an}的前n项之和为Sn,是否存在常数a,b,c,使得an=an^2+bn+c,满足a1=1,3Sn=(n+2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 23:32:25

已知数列{an}的前n项之和为Sn,是否存在常数a,b,c,使得an=an^2+bn+c,满足a1=1,3Sn=(n+2)an,
对一切n属于N*都成立证明结论

总体思路：
1）根据 a1 = 1 An = an^+ bn + c Sn = (n+2)An / 3
可列出三个有关 a,b,c的方程,
S1 = (1+2)A1/3 = A1 得：a + b + c = 1
S2 = (2+2)A2/3 = A1 + A2 得：4a + 2b + c = 3
S3 = (3+2)A3/3 = A1 + A2 + A3 得：6a - c = 3
从而求得 a = 1/2 ,b = 1/2 ,c = 0
2) 这样就可得到 An = (n^+ n)/2 = n(n+1)/2
Sn = n(n+1)(n+2)/6
3) 当 n = 1,n =2,n=3 时 Sn = n(n+1)(n+2)/6 成立,也即
3Sn=(n+2)An 成立!
现在只要当 n = k 时成立,n = k+1 时 Sn = n(n+1)(n+2)/6
也成立即可
假设 n = k 时成立,则有 Sk = k(k+1)(k+2)/6
现在只要证当n = k+1 时 S(k+1) = Sk + A(k+1) 则可
S(k+1) = (k+3)(k+1)(k+2)/6
Sk + A(k+1)= k(k+1)(k+2)/6 + (k+1)(k+2)/2
证明两者相等不难,且无论k取什么N*都可以相等
也即命题成立!

数列an的前n项和为sn,存在常数A,B,C使得an+sn=An^2+Bn+C对任意正整数n都成立. 数列{an}的前n项和为Sn,存在常数ABC,使得an+Sn=An^2+Bn+C对任意正整数都成立数列{an}的前n项和为Sn，存在常数A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{an}为数列{an}的前项n的和为Sn,存在常数A、B、C,使得an+Sn=An^2+Bn+C对任意正整数n都成立.(1)若数列已知数列an满足;a1=1,an+1-an=1,数列bn的前n项和为sn,且sn+bn=2 已知数列{an}的前n项和为sn=3n^2+5n,数列{bn}中,b1=8,64【b（n+1）】-bn=0,且存在常数c 已知数列{an}a1=2前n项和为Sn 且满足Sn Sn-1=3an 求数列{an}的通项公式an 数列{An}满足A1=1,An+1=An/2An+1 数列Bn的前n项和为Sn=12-12(2/3)n 已知数列an满足a1=2 其前n项和为Sn Sn =n+7~3an 数列bn满足 bn=an~1 证明数列bn是等差数列已知数列an的通项公式为an=n的三次方,其前n项和为Sn,问是否存在常数abc,使等式Sn=an四次方+bn三次方+c 已知数列（An）满足A1=1 An+1=3An 数列(Bn)前n项和Sn=n*n+2n+1 已知数列an满足a1=1，a（n+3）=3an，数列bn的前n项和Sn=n2+2n+1 ⑴求数列an，bn的通项公式 ⑵