已知集合M={x|f（x）-x=0，x∈R}与集合N={x|f[f（x）]-x=0，x∈R}，其中f（x）是一个二次项系

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 19:42:19

已知集合M={x|f（x）-x=0，x∈R}与集合N={x|f[f（x）]-x=0，x∈R}，其中f（x）是一个二次项系数系数为1的二次函数．
（1）判断M与N的关系；
（2）若M是单元素集合，求证：M=N．

（1）对于任意的x∈M，则f（x）=x，∴f[f（x）]-x=f（x）-x=0；
即任意的x∈M，都有x∈N，∴M⊆N；
若设0∈N，设f（x）=x²+bx+c，f（0）=c，f[f（0）]=f（c）=c（c+b+1），可以让c+b+1=0，而c≠0；
即f[f（0）]=0，而f（0）≠0，∴0∉M；
∴M⊊N；
（2）证明：设x₁∈M，x₁∈N，x₂∈N，f（x₂）=t；
则：f[f（x₂）]-x₂=0，即f（t）-x₂=0，f（t）=x₂；
∵M是单元素集合，所以x₁是方程：f（x）-x=x²+（b-1）x+c=0的唯一实根；
令g（x）=x²+（b-1）x+c，则该函数值域为[0，+∞），只有x=x₁时，g（x）=0；
则由f（x₂）=t得，x22+bx2+c=t，∴x22+(b-1)x2+c=t-x2＞0，即t＞x₂；
由f（t）=x₂得，t²+bt+c=x₂，∴t²+（b-1）t+c=x₂-t≥0，即x₂≥t；
∴t＞x₂和x₂≥t不可能，即x₂∉N，即M，N都只有一个元素x₁；
∴M=N．

设f(x)是定义在R上的函数集合M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x｝已知全集I=R,若函数f（x）=x²－3x＋2,集合M=｛x｜f（x）≤0｝,N=｛x｜f′（x）＜0｝,则M 已知函数 f（x）= x²+ax+b,集合A={f(x)=x} 集合B={f[f(x)]}=x,x∈R},当A 已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1 (x∈R),且f(0)=1,判断f(x)的奇偶性已知函数f（x）=X²-4x+3,集合M={（x.y)\f(x)+f(y)≤0},集合N={(x,y)\f(x 已知f：A →B是从集合A到集合B的一个映射,其中A=B=【（x,y）|x,y∈R】,若f：（x,y）→（x+y,xy）设全集U=R,集合M={x|f(x)=0},N={x|g(x)=0} g(x)=f(-x)+f(x),x∈R 1、已知f(x)是R上的奇函数,当x∈（0,+∞）时,f(x)=x(1+3^√x).求f(x) 已知函数f（x）满足2f（x）+f(1/x)=2x,且x∈R,≠0,则f（x）= 已知函数f(x)=ax²+bx+1(a,b为实数）,x∈R,F(x)={f(x) (x>0) ;-f(x) ( 设f(x)是二次函数,且对于任意x∈R,有f²(x)+1=f[f（x）],求f(x)的表达式.