求证:当n为大于1的正整数时
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/25 18:13:16
求证:当n为大于1的正整数时
(2n)×(n²-1)是12的倍数 (2n+1)×(2n²+2n)是12的倍数
(2n)×(n²-1)是12的倍数 (2n+1)×(2n²+2n)是12的倍数
用数学归纳法
n=2时,(2n)×(n²-1)=4*3=12,是12的倍数,成立;(2n+1)×(2n²+2n)=5*12=60,是12的倍数,成立
设n=k时,(2k)×(k²-1)和(2k+1)×(2k²+2k)是12的倍数成立
(1) 当n=k+1时,
[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]=(2k+2)[(k+1+1)(k+1-1)]=(2k+2)[k(k+2)]=2k(k+1)(k+2)=2k(k+1)(k-1+3)
=2k(k+1)(k-1)+6k(k+1)
=2k(k^2-1)+6k(k+1)
根据假设,(2k)×(k²-1)能被12整除,而两个相邻正整数必有一个是偶数,所以6k(k+1)能够被12整除
所以n=k+1时,[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]能被12整除
所以对n>1,有(2n)×(n²-1)是12的倍数 成立
(2)当n=k+1时,
[2(k+1)+1][2(k+1)^2+2(k+1)]=(2k+3)*2(k+1)(k+2)=4k(k+1)(k+2)+6(k+1)(k+2)
由(1)可知,2k(k+1)(k+2)能被12整除(是[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]化简的其中一步),且6(k+1)(k+2)能被12整除,
[2(k+1)+1][2(k+1)^2+2(k+1)]能被12整除
所以对n>1,有(2n+1)×(2n²+2n)是12的倍数 成立
n=2时,(2n)×(n²-1)=4*3=12,是12的倍数,成立;(2n+1)×(2n²+2n)=5*12=60,是12的倍数,成立
设n=k时,(2k)×(k²-1)和(2k+1)×(2k²+2k)是12的倍数成立
(1) 当n=k+1时,
[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]=(2k+2)[(k+1+1)(k+1-1)]=(2k+2)[k(k+2)]=2k(k+1)(k+2)=2k(k+1)(k-1+3)
=2k(k+1)(k-1)+6k(k+1)
=2k(k^2-1)+6k(k+1)
根据假设,(2k)×(k²-1)能被12整除,而两个相邻正整数必有一个是偶数,所以6k(k+1)能够被12整除
所以n=k+1时,[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]能被12整除
所以对n>1,有(2n)×(n²-1)是12的倍数 成立
(2)当n=k+1时,
[2(k+1)+1][2(k+1)^2+2(k+1)]=(2k+3)*2(k+1)(k+2)=4k(k+1)(k+2)+6(k+1)(k+2)
由(1)可知,2k(k+1)(k+2)能被12整除(是[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]化简的其中一步),且6(k+1)(k+2)能被12整除,
[2(k+1)+1][2(k+1)^2+2(k+1)]能被12整除
所以对n>1,有(2n+1)×(2n²+2n)是12的倍数 成立
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