求极限 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 06:58:39

如图,尤其是使用洛比塔法则的部分.

lim(x→0) 1/ln[x+√(1+x^2)]-1/ln(1+x)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{ln[x+√(1+x^2)]*ln(1+x)} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[x+√(1+x^2)]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*ln[1-1+x+√(1+x^2)]} (等价无穷小代换)
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x*[x+√(1+x^2)-1]}
=lim(x→0) {ln(1+x)-ln[x+√(1+x^2)]}/{x^2+x√(1+x^2)-x} (0/0)
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/[x+√(1+x^2)]*[1+x/√(1+x^2)]}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {1/(1+x)-1/√(1+x^2)}/{2x+√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)-1}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)*(1+x)+√(1+x^2)*√(1+x^2)*(1+x)+x^2*(1+x)-√(1+x^2)*(1+x)}
=lim(x→0) {√(1+x^2)-(1+x)}/{2x*√(1+x^2)+(1+x^2)+x^2-√(1+x^2)} （(0/0)
=lim(x→0) {x/√(1+x^2)-1}/{2√(1+x^2)+2x^2/√(1+x^2)+4x-x/√(1+x^2)}
=lim(x→0) {x-√(1+x^2)}/{2(1+x^2)+2x^2+4x√(1+x^2)-x}
到这一步,看到分母为2,而分子为-1
因此极限为-1/2
再问：其实原题里面2个分式的分母在x→0处都是x的等价无穷小，通分以后分母直接可以用x^2代替了。答案-1/2跟我做的一样。我一开始是用洛必塔求导的时候算错了一步，后来自己又做了一遍就做出来了。
再答：你说的对，不过前一个等价无穷小我不知道，所以做了这么长

求ln(1+x)/x的极限 (ln(1+x)*ln(1-x)+e^(x^2)-1)/x*(x-sinx)求极限求极限(1/x2)ln(arctanx/x), 求极限 limx~0 ( 1/ln( x+根号（1+x^2)) -1/ln(1+x))求助求极限请给出过程 lim x-> 1+ ln(sinh(x-1))/ln(x^2-1) limx趋于无穷大时求x[ln(x-2)-ln(x+1)]的极限求极限lim Ln(1+x) /x > .< x→0 求极限lim(x趋向无穷大)ln(1+x)/x 求极限lim(x->0) [ln(1+x^2)-ln(1+sinx^2)]/xsinx^3 求极限lim (n→+∞）ln(1+x^2)/ln(1+x^4) 求lim(x趋于无穷大）（ln(x^2-x+1)/ln(x^10+x+1))的极限求lim(ln(1+x^n)/ln^m(1+x))的极限(x趋于0)