作业帮柯西不等式的题目,不懂啊,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/19 00:04:00
柯西不等式的题目,不懂啊,
已知a,b,c是互不相等的正数,求证
[2/(a+b)]+[2/(b+c)]+[2/(a+c)]>9/(a+b+c)
已知a,b,c是互不相等的正数,求证
[2/(a+b)]+[2/(b+c)]+[2/(a+c)]>9/(a+b+c)
已知a b c是互不相等的正数 求证
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
证明 如果了解柯西不等式,那么很简单
(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c).
附证 设2x=a+b,2y=b+c,2z=c+a,则所证不等式等价于
1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)
(x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z>9
y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6
(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6.
因为 y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2.
所以上式显然成立.
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
证明 如果了解柯西不等式,那么很简单
(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c).
附证 设2x=a+b,2y=b+c,2z=c+a,则所证不等式等价于
1/x+1/y+1/z>9/(x+y+z)
(x+y+z)/x+(x+y+z)/y+(x+y+z)/z>9
y/x+z/x+x/y+z/y+x/z+y/z>6
(y/x+x/y)+(z/x+x/z)+(y/z+z/y)>6.
因为 y/x+x/y>2,z/x+x/z>2,y/z+z/y>2.
所以上式显然成立.