以O为圆心的圆通过△ABC 的两个顶点 A、C ,且与AB 、BC 两边分别相交于K 、N两点,△ABC 和△KBN两外

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/03 20:24:40

以O为圆心的圆通过△ABC 的两个顶点 A、C ,且与AB 、BC 两边分别相交于K 、N两点,△ABC 和△KBN两外接圆交于B 、M两点．证明：∠OMB为直角．

证明：显然,⊙O,⊙ABC ,⊙KBN 两两相交,交线分别为BM、KN、AC.
由根轴得性质可知,BM、KN、AC三线共点P,
显然,B、K、N、M共圆,∴PM×PB=PN×PK

设⊙O 的半径为r,则点P对⊙O的幂PO^2-r^2=PN×PK
因此,PO^2-r^2= PM×PB ①
由∠PMN=∠BKN=∠CAN,得P、M、N、C共圆,∴ BM×BP=BN×BC
另一方面,点B对⊙O的幂BO^2-r^2=BN×BC
因此,BO^2-r^2=BM×BP ②
①－②,得：
PO^2-BO^2= PM×PB-BM×BP=(PM-BM)×PB=(PM-BM)×(PM+BM)=PM^2-BM^2
由平方差原理,可知：OM⊥PB.
故：∠OMB为直角.

5.圆心为O的一个圆经过三角形ABC的顶点A和C,并与AB,BC分别交于不同的两点K、N,三角形ABC的外接圆和三角形K 如图,在△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点,连接OD. 在Rt△ABC中,∠C=90度,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于D、E,且∠CBD=∠A. 如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于O点，过O点作MN∥BC交AB于M，交AC于N.若AB=12，BC=24，A 如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于 1 2 AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N, 如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心CA为半径的圆与AB、BC分别相交于点D、E求AD的已知：如图,二次函数y=x2-（k+1）x+k的图象与x轴相交于A、B两点,顶点为C,且△ ABC为直角三角形, 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB上点O为圆心,BO为半径的圆交AB的中点于E,交BC于D,且与AC切于点P 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=8,点O是斜边AB上一点,以O为圆心的⊙O分别与AC、BC相切于点D、E 已知Rt△ABC中，∠C=90°，O为斜边AB上的一点，以O为圆心的圆与边AC，BC分别相切于点E，F，若AC=1，BC 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠C