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设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)-f(x)<0恒成立,则不等式x2f(x)>0

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 19:06:57
设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)-f(x)<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是______.
构造函数g(x)=
f(x)
x,g′(x)=
xf′(x)−f(x)
x2,
因为当x>0时,有xf′(x)-f(x)<0恒成立,即g′(x)=
xf′(x)−f(x)
x2<0恒成立,
所以在(0,+∞)内g(x)单调递减.
因为f(2)=0,所以f(x)在(0,2)内恒有f(x)>0;在(2,+∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在(-∞,-2)内恒有f(x)>0;在(-2,0)内恒有f(x)<0.
又不等式x2f(x)>0的解集等价为不等式f(x)>0的解集.
所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
故答案为:(-∞,-2)∪(0,2).
再问: 为什么f(x)是定义R上奇函数,你就知道-2