设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)-f(x)<0恒成立,则不等式x2f(x)>0
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 19:06:57
设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)-f(x)<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是______.
构造函数g(x)=
f(x)
x,g′(x)=
xf′(x)−f(x)
x2,
因为当x>0时,有xf′(x)-f(x)<0恒成立,即g′(x)=
xf′(x)−f(x)
x2<0恒成立,
所以在(0,+∞)内g(x)单调递减.
因为f(2)=0,所以f(x)在(0,2)内恒有f(x)>0;在(2,+∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在(-∞,-2)内恒有f(x)>0;在(-2,0)内恒有f(x)<0.
又不等式x2f(x)>0的解集等价为不等式f(x)>0的解集.
所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
故答案为:(-∞,-2)∪(0,2).
再问: 为什么f(x)是定义R上奇函数,你就知道-2
f(x)
x,g′(x)=
xf′(x)−f(x)
x2,
因为当x>0时,有xf′(x)-f(x)<0恒成立,即g′(x)=
xf′(x)−f(x)
x2<0恒成立,
所以在(0,+∞)内g(x)单调递减.
因为f(2)=0,所以f(x)在(0,2)内恒有f(x)>0;在(2,+∞)内恒有f(x)<0.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以在(-∞,-2)内恒有f(x)>0;在(-2,0)内恒有f(x)<0.
又不等式x2f(x)>0的解集等价为不等式f(x)>0的解集.
所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
故答案为:(-∞,-2)∪(0,2).
再问: 为什么f(x)是定义R上奇函数,你就知道-2
设f x 是定义在r上的奇函数,且f(2)=0.当x>0时,有f(x)>xf'(x)恒成立,则不等式x²f(x
设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,当x>0时,有f(x)>xf(x)恒成立,则不等式xf(x)>0的解集
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,不等式f(x)+xf′(x)>0恒成立,若a=20.3
设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有xf′(x)−f(x)x
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3•f
设f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=1,当x>0时,有f(x)>xf′(x)恒成立,则不等式f(x)>x的解集是(
设f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)+xf'(x)>0,且f(1)=0,则不等式xf(x)>0的解集为?
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)满足:2f(x)+xf′(x)>xf(x),则f(x)在区间[
函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,且当x>0时xf'(x)-f(x)/x2>0恒成立,则不等式xf(x)〉
设F(X)是定义在R上的奇函数,且F(2)等于0,当X大于0时.有X乘F'(X)小于F(X)恒成立,则不等式X平方乘F(
设f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意的x∈R,f(1+x)-f(1-x)=0恒成立,当x∈[0,1]时,f(x)=
设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=3-2^x,则f(-2)=(