求解一道数列应用题m个盒子有若干个球,每次在其中n(n＜m)个盒子中各加一个球.求证:无论开始盒子中球如何分布,总可按上

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 15:44:33

求解一道数列应用题
m个盒子有若干个球,每次在其中n(n＜m)个盒子中各加一个球.求证:无论开始盒子中球如何分布,总可按上述方法进行有限次加球后使得各盒中球数相等的充要条件是m,n互素

充分性:若(m,n)=1,则由裴蜀定理,存在正整数x,y使得xn-ym=1,即xn=ym+1.
将m个盒子排成一圈,从某个盒子A开始,(按固定方向)顺次进行x次操作,则由上述等式可知,操作的结果是使A盒子中增加了y+1个球,而其它盒子中都增加了y个球,即A盒子比其余的盒子多增加了1个球.因此,如果选A盒子为球数最少的盒子,则通过上述方法有限次后可使所有盒子中球数相等.
必要性:反证法.
仍设有m个盒子(m>n),开始时共有a个球(a是一个待定的正整数),设经过k次操作使得m个盒子的球数都相等,设此时每个盒子各有p个球.由于一次操作使球的总数增加n,故有 kn+a=mp.
由此可见,m与n的最大公约数必须整除a.因此,当m,n不互素时,若取a=1,则上面的等式不可能成立,即不能通过有限次操作使每个盒子中的球数相等,矛盾.
因此假设不成立,从而必有(m,n)=1.

有标号1～n的n个盒子,每个盒子中都有m个白球k个黑球.从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子,再从第二个盒子任取一球放入将n个球放入M个盒子中,求盒子中有球的概率 1．有标号1∼n的n个盒子,每个盒子中都有m个白球k个黑球.从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子,再从第二个 M+1个球放入N个盒子,每个盒子至少放一个,那么有多少种放法? 将n只球随机地放在m个盒子中 m个球放n个盒子（盒子相同,球也相同）有多少种方法 m+1个球放入n个盒子,每个盒子至少放1个,那么有多少种方法. 各位大哥大姐,有道概率题.有n个球分配到M个盒子里,球到每个盒子是等可能,求有球盒子的数学期望. n个同样的球放入m个不同的盒子里,有多少种方法?（可以有空盒子）.分n>m和n 4个球放入4个盒子中,其中有一个盒子是空的,有几种放法? M个球装入N个盒子,有多少装法将M个不同的球任意放入N个盒子中（N大于或等于M）则事件指定的M个盒子中各有一球的概率是?