作业帮已知函数f(x)的定义域为R,且f(a+b)=f(a)·f(b),当x>0时,f(x)>1,(1)求f(0) （2）证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 13:43:44
已知函数f(x)的定义域为R,且f(a+b)=f(a)·f(b),当x>0时,f(x)>1,(1)求f(0) （2）证明f(x)是增函数
（1）由于f(a+b)=f(a)×f(b),则f(0+X)=f(0)×f(X)
当X>0时,有f(x)>1,所以f(0)=1
（2）f(a+b)=f(a)×f(b)则,f(2x)=f(x)×f(x),则对任意x,f（x）>0
又有f(x-x)=f(x)×f(-x)=1,当x>0时,f(x)>1,则f（-x）x1
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)/2+(x2+x1)/2]-f[(x1-x2)/2+(x1+x2)/2]
=f[(x2-x1)/2]×f[(x2+x1)/2]-f[(x1-x2)/2]×f[(x1+x2)/2]
=f[(x2+x1)/2]{f[(x2-x1)/2]-f[(x1-x2)/2]}
由于(x2-x1)/2>0,(x1-x2)/21,f[(x1-x2)/2]0,则函数f(x)为增函数
当X>0时,有f(x)>1,所以f(0)=1
（2）f(a+b)=f(a)×f(b)则,f(2x)=f(x)×f(x),则对任意x,f（x）>0
又有f(x-x)=f(x)×f(-x)=1,当x>0时,f(x)>1,则f（-x）x1
f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)/2+(x2+x1)/2]-f[(x1-x2)/2+(x1+x2)/2]
=f[(x2-x1)/2]×f[(x2+x1)/2]-f[(x1-x2)/2]×f[(x1+x2)/2]
=f[(x2+x1)/2]{f[(x2-x1)/2]-f[(x1-x2)/2]}
由于(x2-x1)/2>0,(x1-x2)/21,f[(x1-x2)/2]0,则函数f(x)为增函数
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