作业帮斐波那契数列求和公式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 06:24:44
斐波那契数列求和公式
利用特征方程的办法（这个请自行参阅组合数学相关的书）.
设斐波那契数列的通项为An.
（事实上An = (p^n - q^n)/√5,其中p = (√5 - 1)/2,q = (√5 + 1)/2.但这里不必解它）
然后记
Sn = A1 + A2 + ...+ An
由于
An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)
= S(n-1) - S(n-3)
其中初值为S1 = 1,S2 = 2,S3 = 4.
所以
Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0
从而其特征方程是
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
即
(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0
不难解这个三次方程得
x1 = 1
x2 = p
x3 = q
（p,q值同An中的p,q）.
所以通解是
Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n
其中c1,c2,c3的值由S1,S2,S3的三个初值代入上式确定.我就不算了.
设斐波那契数列的通项为An.
（事实上An = (p^n - q^n)/√5,其中p = (√5 - 1)/2,q = (√5 + 1)/2.但这里不必解它）
然后记
Sn = A1 + A2 + ...+ An
由于
An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)
= S(n-1) - S(n-3)
其中初值为S1 = 1,S2 = 2,S3 = 4.
所以
Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0
从而其特征方程是
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
即
(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0
不难解这个三次方程得
x1 = 1
x2 = p
x3 = q
（p,q值同An中的p,q）.
所以通解是
Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n
其中c1,c2,c3的值由S1,S2,S3的三个初值代入上式确定.我就不算了.