三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 10:24:28

三角形内费马点到三个顶点的距离和与三边有什么关系?
请用A,B,C代表三边,分类讨论(注意内角不一定比120度小).

我们更习惯用a,b,c来表示三角形三条边,A,B,C表示三角形的三个内角
设费马点P,分情况讨论:
1.A≥120度时,P=A,PA+PB+PC=AB+AC=b+c
2.B≥120度时,P=B,PA+PB+PC=AB+BC=a+c
3.C≥120度时,P=C,PA+PB+PC=BC+AC=a+b
4.A,B,C均小于120度时
设PA=x,PB=y,PC=z,∠APB=∠BPC=∠CPA=120度
那么由余弦定理
x^2+y^2+xy=c^2
y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+xz=b^2
三式相加
(x+y+z)^2=(a^2+b^2+c^2+3(xy+yz+zx))/2 .(1)
由正弦定理
√3xy/4=S⊿PAB
√3yz/4=S⊿PBC
√3zx/4=S⊿PAC
三式相加
xy+yz+zx=4S⊿ABC/√3 ...(2)
由海伦公式
S⊿ABC=√[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/4 ...(3)
由(1),(2),(3),解得
PA+PB+PC=√{(a^2+b^2+c^2+√[3(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)])/2}
这就是要求的表达式

轴对称图形中,对称点的连线与对称轴的关系是__,三角形三边上的__的交点到三角形三个顶点的距离相等. 三角形的三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等和三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等, 三角形的三边和外接圆与内接圆半径有什么关系? 1：三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点距离相等. 证三角形三边的垂直平分线交的点到三个顶点的距离相等怎样找在三角形内且与三个顶点的距离和最短的点若两个三角形的三边分别为24,36,54和36,54,81画一画,量一量这两个三角形的三个角有什么关系三角形的什么心到三个顶点的距离相等? 什么三角形的三边关系、三边定理,三边关系推论? 费马点到三角形三个顶点的距离等于什么,要证明分别过三角形的三个顶点作为它的对边的平行线,所得的大三角形的面积与三角形ABC的面积有什么关系? 分别过三角形的三个顶点作它对边的平行线,所得的大三角形的面积与三角形ABC的面积有什么关系?