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在三角形ABC中,M是BC的中点,AD是角平分线,MF⊥AD的延长线于F,交AB于E.求证:BE=1/2(AB-AC)

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 14:01:17
在三角形ABC中,M是BC的中点,AD是角平分线,MF⊥AD的延长线于F,交AB于E.求证:BE=1/2(AB-AC)
证明:
延长EF交AC于G
∵AF⊥EG【原为MF⊥AD,延长后】
∴∠AFE=∠AFG
又∵∠EAF=∠GAF,AF=AF
∴⊿AEF≌⊿AGF(ASA)
∴AE=AG,∠AEF=∠G
作CH//AB ,交EG于H
则∠B=∠MCH,∠BEM=∠CHM
又∵BM=CM
∴⊿BEM≌⊿CHM(AAS)
∴BE=CH
∵∠AEF=180º-∠BEM
∠CHG=180º-∠CHM
∴∠AEF=∠CHG=∠G
∴CH=CG=BE
∵AE=AG=AC+CG=AC+BE
AE=AB-BE
∴AC+BE=AB-BE
∴BE=½(AB-AC)