求对坐标的曲面积分∫∫(x^2y^2z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下侧

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 01:06:15

求对坐标的曲面积分∫∫(x^2*y^2*z)dxdy,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2的下半部分的下侧

用公式直接计算：
注意是球面的下侧,所以z=-√R^2-x^2-y^2,化成二重积分时取负号
S在xoy面的投影为Dxy：x^2+y^2≤R^2
则原式化成二重积分=-∫∫（Dxy上）【x^2*y^2*（-√R^2-x^2-y^2）】dxdy
=∫∫（Dxy上）【x^2*y^2*√R^2-x^2-y^2）】dxdy
用极坐标算上述二重积分
=∫（0到2∏）dθ∫（0到R）【（sinθ）^2*（cosθ）^2*r^5*√R^2-r^2】dr
=∫（0到2∏）（sinθ）^2*（cosθ）^2dθ∫（0到R）r^5*√R^2-r^2dr
=2∏R^7/105.
其中∫（0到2∏）（sinθ）^2*（cosθ）^2dθ
=∫（0到2∏）[（1-cos2θ）/2]*[（1+cos2θ）/2]dθ
=∫（0到2∏）[1-(cos2θ）^2]/4dθ
=∫（0到2∏）[1-(1+cos4θ）/2]/4dθ
=∫（0到2∏）(1-cos4θ）/8dθ
=∏/4
其中∫（0到R）r^5*√R^2-r^2dr,令r=Rsint,
得=∫（0到∏/2）R^7*（sint）^5*（cost）^2dt
=R^7∫（0到∏/2）[（sint）^5-(sint）^7]dt
=R^7∫（0到∏/2）[（sint）^4-(sint）^6]*sintdt
=-R^7∫（0到∏/2）[1-（cost）^2]^2*[1-(cost）^2]^3dcost
=-R^7∫（0到∏/2）[(cost）^2-2(cost）^4+(cost）^6]dcost
=8R^7/105.

计算曲面积分∫∫xzdydz+y^2dxdy,其中积分面是球面x^2+y^2+z^2=a^2第一卦限部分的下侧. 计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,∑是上半球面z=根下1-x^2-y^2的上侧计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧. 关于曲面积分的疑问∫∫x^3dydz+y^3dxdz+z^3dxdy,其中Σ为球面x^2+y^2+z^2= 曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2及z=R,z=- 计算曲面积分I=∫∫ydxdz+(z+1)dxdy 其中Σ是圆柱面 x^2+y^2=R^2被x+z= 计算下列对坐标的曲面积分.∮Σ∮(x+2y+z) dxdy + yz dydz,其中Σ为平面x+2y+z=6与坐标面所围计算曲面积分 I=∫∫(S+) (x^3)dydz+(z)dzdx+(y)dxdy 其中s+为曲面x^2+y^2=4,与 ∑为上半球面z=√(1-x^2-y^2)的上侧,则对坐标的曲面积分∫∫y^3dxdy=?求详细过程用高斯公式计算曲面积分∮xy^2dydz+yz^2dzdx+zx^2dxdy,其中∑为球面x^2+y^2+z^2=R^2 计算曲面积分∫∫(x^2-yz)dydz+(y^2-xz)dzdx+(z^2-xy)dxdy,其中∑是三坐标平面与x=a 利用高斯公式计算曲面积分∫∫xdydz+z^2dxdy/(x^2+y^2+z^2),其中曲面∑是由x^2+y^2=R^2