作业帮一道高等数学求极限的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/27 14:47:49
一道高等数学求极限的问题
当x→0时函数[（a∧x+b∧x）/2]∧3/x；（其中ab大于0且为常数）的极限是?拜托高手可以解答,要详细的解答过程方便学习,谢谢.
当x→0时函数[（a∧x+b∧x）/2]∧3/x；（其中ab大于0且为常数）的极限是?拜托高手可以解答,要详细的解答过程方便学习,谢谢.
设 f(x) = [(a^x+b^x)/2]^(3/x) ,ln f(x) = (3/x) ln (a^x+b^x)/2
当x->0时, a^x -1 ~ x * lna, b^x - 1 ~ x * lnb, (a^x+ b^x) /2 ->1
ln[(a^x+ b^x)/2] = ln[ 1+ (a^x+ b^x)/2 - 1] ~ (a^x + b^x)/2 -1
lim(x->0) ln f(x)
= lim(x->0) 3 [(a^x + b^x)/2 -1] / x
= (3/2) lim(x->0) [(a^x -1)/ x + (b^x -1)/ x ]
= (3/2) (lna + lnb) = ln (ab)^(3/2)
原式 = (ab)^(3/2)
当x->0时, a^x -1 ~ x * lna, b^x - 1 ~ x * lnb, (a^x+ b^x) /2 ->1
ln[(a^x+ b^x)/2] = ln[ 1+ (a^x+ b^x)/2 - 1] ~ (a^x + b^x)/2 -1
lim(x->0) ln f(x)
= lim(x->0) 3 [(a^x + b^x)/2 -1] / x
= (3/2) lim(x->0) [(a^x -1)/ x + (b^x -1)/ x ]
= (3/2) (lna + lnb) = ln (ab)^(3/2)
原式 = (ab)^(3/2)