作业帮 > 数学 > 作业

设T是一个有理数集,并且X>0且x平方小于2.证明:T在有理数上没有上确界?

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/11 03:01:52
设T是一个有理数集,并且X>0且x平方小于2.证明:T在有理数上没有上确界?
反证法.设既约分数p/q是T的上确界.熟知√2不是有理数,所以(p/q)²≠2.
若(p/q)²0 => 2q²-p²≥1.取一个充分大的k使得k²>2kp+1.记a=(kp+1)/kq∈T,容易验证a²p/q,这与p/q是T的上界矛盾!
若(p/q)²>2,2q²-p² p²-2q²≥1.取一个充分大的k使得k²>2kp-1.记a=(kp-1)/kq∈T,容易验证a²>2,故a是T在有理数集中的一个上界.但a