(2003•天津)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π4,0)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/10 17:56:00
(2003•天津)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(
,0)
3π |
4 |
由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),
所以-cosφsinωx=cosφsinωx,
对任意x都成立,且w>0,
所以得cosφ=0.
依题设0≤φ≤π,所以解得φ=
π
2,
由f(x)的图象关于点M对称,
得f(
3π
4−x)=−f(
3π
4+x),
取x=0,得f(
3π
4)=sin(
3ωπ
4+
π
2)=cos
3ωπ
4,
∴f(
3π
4)=sin(
3ωπ
4+
π
2)=cos
3ωπ
4,
∴cos
3ωπ
4=0,
又w>0,得
3ωπ
4=
π
2+kπ,k=0,1,2,3,…
∴ω=
2
3(2k+1),k=0,1,2,…
当k=0时,ω=
2
3,f(x)=sin(
2
3x+
π
2)在[0,
π
2]上是减函数,满足题意;
当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+
π
2)=cos2x,在[0,
π
2]上是减函数,满足题意;
当k=2时,ω=
10
3,f(x)=sin(
10
3x+
π
2)在[0,
π
2]上不是单调函数;
所以,综合得ω=
2
3或2.
即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),
所以-cosφsinωx=cosφsinωx,
对任意x都成立,且w>0,
所以得cosφ=0.
依题设0≤φ≤π,所以解得φ=
π
2,
由f(x)的图象关于点M对称,
得f(
3π
4−x)=−f(
3π
4+x),
取x=0,得f(
3π
4)=sin(
3ωπ
4+
π
2)=cos
3ωπ
4,
∴f(
3π
4)=sin(
3ωπ
4+
π
2)=cos
3ωπ
4,
∴cos
3ωπ
4=0,
又w>0,得
3ωπ
4=
π
2+kπ,k=0,1,2,3,…
∴ω=
2
3(2k+1),k=0,1,2,…
当k=0时,ω=
2
3,f(x)=sin(
2
3x+
π
2)在[0,
π
2]上是减函数,满足题意;
当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+
π
2)=cos2x,在[0,
π
2]上是减函数,满足题意;
当k=2时,ω=
10
3,f(x)=sin(
10
3x+
π
2)在[0,
π
2]上不是单调函数;
所以,综合得ω=
2
3或2.
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π4,0)
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