作业帮大学数学求证题,用柯西中值定理
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 13:15:13
大学数学求证题,用柯西中值定理
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0,证明：
f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!,其中β∈(0,1)
设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0,证明：
f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!,其中β∈(0,1)
∵β∈(0,1)
∴βx∈(0,x)
又∵f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0
根据柯西中值定理,有
f（x）/x^n＝［f（x）－f（0）］/（x^n－0^n）＝f '（βx）/nβ^(n-1)
又根据柯西中值定理,有
[f '（βx）－f '（0）］/[nβ^(n-1)－n*0^(n-1)]＝f ''（βx）/n(n-1)β^(n-2)
再根据柯西中值定理,有
[f ''（βx）－f ''（0）］/[n(n-1)β^(n-2)－n(n-1)*0^(n-2)]＝f '''（βx）/n(n-1)(n-2)β^(n-3)
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日复一日,年复一年,如此这般,这般如此,周而复始之后……便可得到：
f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!
∴βx∈(0,x)
又∵f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0
根据柯西中值定理,有
f（x）/x^n＝［f（x）－f（0）］/（x^n－0^n）＝f '（βx）/nβ^(n-1)
又根据柯西中值定理,有
[f '（βx）－f '（0）］/[nβ^(n-1)－n*0^(n-1)]＝f ''（βx）/n(n-1)β^(n-2)
再根据柯西中值定理,有
[f ''（βx）－f ''（0）］/[n(n-1)β^(n-2)－n(n-1)*0^(n-2)]＝f '''（βx）/n(n-1)(n-2)β^(n-3)
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日复一日,年复一年,如此这般,这般如此,周而复始之后……便可得到：
f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!