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用拉格朗日乘数法求条件最值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 18:48:13

用拉格朗日乘数法求条件最值

在构造拉格朗日函数时为什么不是

而是

y>=0的条件不用管吗?

不是不是而是的问题.首先得说,拉格朗日极值点出现的位置,可能在你约束定义域范围内,也可能在你约束外.（1）如果你求得的点在所求区域内,那么就相当于lamda=0 也就是约束不起作用.这时候,你直接对函数求导,不管定义域,直接求极值,然后看看在不在所给的定义域D内,如果在,那么好了,这个无约束的也是极值点.
（2）约束起作用,不跟你说那么深,反正告诉你,你这个二元函数是凸的,那么如果约束起作用,那么极值一定是在满足你不等式定义的边界,也就是等式上成立的.所以,x²+4y²-4=0 本来是要加y=0的,但是y>=0起作用的话,y一定等于0,那么实际上这是包含在x²+4y²-4=0 中的,由于y的正负不影响最后的值的,也是不影响定义域的,所以,不起作用.
一定要注意这题,要考虑不考虑约束,直接求极值的情况,也就是（1)这个很容易漏掉.因为你拉格朗日,一对lamda求偏导,就相当于默认不等式一定取等号了,但其实不然,可能不在边界,而在内部,本题也就是
2x-8xy²=0 16y-8x²y=0 (x=0 y=0 ,x=根号2 y=1/2）也是极值点
再问：也就是说我用拉格朗日乘数法求最值，首先要不考虑约束求出极值点，然后判断函数凹凸性，接着再构造拉格朗日函数求极值，最后把上面步骤求出来所有的点的值进行比较求出最值。是这么个过程不？
还有为什么函数是凸的约束就一定在边界起作用啊？x²+4y²-4=0不是个椭圆嘛，那这个椭圆的y不只可以>=0也可以=0的约束。对于一般的情况，也是要考虑约束的，那么就要分约束1起作用，约束2不起作用；约束1起作用，约束2起作用，以及约束1不起作用，约束2起作用，约束1不起作用，约束2不起作用。四种情况讨论。原因前面也说了，你用拉格朗日，一求偏导就是默认起作用了，但是这是不对的，所以你的两个一起来的话，只是一种情况。还有3种情况，一一讨论。这道题就比较人性，就是y为负为正是不影响约束和目标值的，所以，可以在解题时可以不考虑2个约束，只考虑1个约束，但是最后写解的时候，注意y只能是正的。

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