证明函数f:z + * z + → z + 是一对一且是映上的,其中f(m,n) = (m+n-2)(m+n -1)/2
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 09:35:02
证明函数f:z + * z + → z + 是一对一且是映上的,其中f(m,n) = (m+n-2)(m+n -1)/2 + m
先给个直观解释,再给出证明.
将正整数排列如下:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
...
则f(m,n)就是第m+n-1行的第m个数.
对于不同的正整数对(m,n),显然相应的"坐标"(m+n-1,m)也不同,因此f是单射.
又对任意正整数k,设其"坐标"为(p,q) (p ≥ q),则f(q,p+1-q) = k,因此f是满射.
证明:先证单性(一对一).
设正整数对(m,n),(p,q)满足f(m,n) = f(p,q),且不妨设m+n ≤ p+q.
假设m+n < p+q,即有m+n+1 ≤ p+q,
则f(p,q) = (p+q-2)(p+q-1)/2+p
> (p+q-2)(p+q-1)/2
≥ (m+n-1)(m+n)/2
= (m+n-1)(m+n-2)/2+(m+n-1)
≥ (m+n-1)(m+n-2)/2+m
= f(m,n),
得f(p,q) > f(m,n),矛盾.
因此m+n = p+q,代回f(m,n) = f(p,q)即得m = p,从而n = q.
由f(m,n) = f(p,q)可得到(m,n) = (p,q),即f为单射.
再证满性(映上).
注意到函数g(x) = (x-1)(x-2)/2对x ≥ 2严格单调递增并趋于无穷,且g(2) = 0.
对任意正整数k,存在正整数p ≥ 2,使g(p) < k ≤ g(p+1).
设m = k-g(p),则有1 ≤ m ≤ g(p+1)-g(p) = p-1.
取n = p-m,则n也为正整数,而k = g(p)+m = g(m+n)+m = f(m,n).
存在正整数对(m,n)使f(m,n) = k,即f为满射.
将正整数排列如下:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
...
则f(m,n)就是第m+n-1行的第m个数.
对于不同的正整数对(m,n),显然相应的"坐标"(m+n-1,m)也不同,因此f是单射.
又对任意正整数k,设其"坐标"为(p,q) (p ≥ q),则f(q,p+1-q) = k,因此f是满射.
证明:先证单性(一对一).
设正整数对(m,n),(p,q)满足f(m,n) = f(p,q),且不妨设m+n ≤ p+q.
假设m+n < p+q,即有m+n+1 ≤ p+q,
则f(p,q) = (p+q-2)(p+q-1)/2+p
> (p+q-2)(p+q-1)/2
≥ (m+n-1)(m+n)/2
= (m+n-1)(m+n-2)/2+(m+n-1)
≥ (m+n-1)(m+n-2)/2+m
= f(m,n),
得f(p,q) > f(m,n),矛盾.
因此m+n = p+q,代回f(m,n) = f(p,q)即得m = p,从而n = q.
由f(m,n) = f(p,q)可得到(m,n) = (p,q),即f为单射.
再证满性(映上).
注意到函数g(x) = (x-1)(x-2)/2对x ≥ 2严格单调递增并趋于无穷,且g(2) = 0.
对任意正整数k,存在正整数p ≥ 2,使g(p) < k ≤ g(p+1).
设m = k-g(p),则有1 ≤ m ≤ g(p+1)-g(p) = p-1.
取n = p-m,则n也为正整数,而k = g(p)+m = g(m+n)+m = f(m,n).
存在正整数对(m,n)使f(m,n) = k,即f为满射.
复变函数的证明题,已知f(z)是整函数,且对于充分大的|z|,有|f(z)|小于等于M|z|^n,其中M为常数,n为大于
复变函数 设f(z)=exp(1/z^m)/(tanz)^n,其中m,n均为正整数,证明lim(f)不存在(z趋近于0)
若函数f(x)=x^(n^2-3n)(m属于z)是偶函数,且在(0,+∞)上是单调减,则n=,
已知集合M={z|z=i^n } n属于正整数 N={z|z^2+2|z|-1=0} 求M与N的交集 Z是复数.
证明两个群是同构两个群分别为(Z,+)和(Z,*).*的运算为n*m = n+ m +5.n,m属于Z
M=﹛x|x=2n-1,n∈z﹜ N=﹛t|t+1/2∈z﹜怎么会M=N呢 M是奇数的集合,N是Z的集合呀
集合M={x|x=3k-2,k∈Z}.P={y|y=3m+1,m∈Z},S={z|z=6n+1,n∈Z}之间的关系是
设m,n∈Z,已知函数f(x)=log2(-|x|+4)的定义域是[m,n],值域是[0,2],若关于x的方程2|1-x
设集合S={x|x=m^2-n^2,m∈Z且n∈Z}
已知集合A{x|x=m^2-n^2,m∈Z,n∈Z}.
设函数y=f(z)定义在R上,对任意实数m.n恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0
已知m=x+y/2,n=y+z/2,x/m+z/n=2,试说明y是x,z的比例中项.