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（2012•蓝山县模拟）如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/26 04:16:02
（2012•蓝山县模拟）如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（ 2）若一过点O（m，0）（m为非零常数）的直线与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
MP
＝λ
PN
（本小题满分13分）
（1）设双曲线E的方程为
x2
a2−
y2
b2＝1  (a＞0，b＞0)，
则B（-c，0），D（a，0），C（c，0）．
由BD=3DC，得c+a=3（c-a），即c=2a．
∴

|AB|2−|AC|2＝16a2
|AB|+|AC|＝12−4a
|AB|−|AC|＝2a.…（3分）
解之得a=1，∴c＝2，  b＝
3．
∴双曲线E的方程为x2−
y2
3＝1．…（5分）
（2）设在x轴上存在定点G（t，0），使

BC⊥(

GM−λ

GN)．
设直线l的方程为x-m=ky，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由

MP＝λ

PN，得y1+λy2=0．
即λ＝−
y1
y2①…（6分）
∵

BC＝(4，0)，

GM−λ

GN＝(x1−t−λx2+λt， y1−λy2)，
∴

BC⊥(

GM−λ

GN)⇔x1-t=λ（x2-t）．
即ky1+m-t=λ（ky2+m-t）．②…（8分）
把①代入②，得2ky1y2+（m-t）（y1+y2）=0③…（10分）
把x-m=ky代入x2−
y2
3＝1，并整理得（3k2-1）y2+6kmy+3（m2-1）=0，
其中3k2-1≠0且△＞0，即k2≠
1
3且3k2+m2＞1．
y1+y2＝
−6km
3k2−1，  y1y2＝
3(m2−1)
3k2−1．…（11分）
代入③，得
6k(m2−1)
3k2−1−
6km(m−t)
3k2−1＝0，
化简得 kmt=k．
当t＝
1
m时，上式恒成立．
因此，在x轴上存在定点G(
1
m，0)，使

BC⊥(

GM−λ

GN)．…（13分）
（2012•莲都区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知O 如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形AOB的直角顶点与原点O重合，点A、B分别在x、y轴上，且AB=42．直线 如图，直角坐标系xoy中，有Rt△ABC，∠C=90°，D在边BC上，BD=3DC，双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D 如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为一的圆的圆心O在坐标原点,且于两坐标轴交于A、B、C、D四点抛物线y=ax2+bx 如图,在直角坐标系中,点A(5,0)关于原点O的对称点为C,点B(3,4）关于原点O的对称点为点D, 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线y=-x+6交y轴于点A,交x轴于点B,点C、B关于原点对称,点P在射线AB 如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,点C、A分别在x轴、y轴正半轴 如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆O分别交x轴于A,B,C,D四点,抛物线y=x^2+bx+c经过点C且与直线 已知,如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt △OCD 的一边OC 在X轴上,∠C＝90°,点D在第 如图,在直角坐标系中,A,B,C,D四点在反比例函数y=k/x的图象上,线段AC,BD都过原点O 在平面直角坐标系XOY中,圆心在原点的圆O分别交X轴,Y轴于A,B,D,三点,且A（-1,0）,C（0,-1）. 如图,在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,直线AB平行于直线y=x,且与x轴交于点A（-3,0）,与y轴交于B点,点M,