作业帮用常数变易法求微分方程y'-y=ex的通解?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 08:16:33
用常数变易法求微分方程y'-y=ex的通解?
求微分方程y'-y=ex的通解
为了求这个方程的解,先考虑齐次线性方程：
dy/dx-y=0,即有dy/y=dx,积分之得lny=x+lnC₁,于是得其通解为y=e^(x+lnC₁)=C₁e^x,这里C₁为任意常数.下面用“参数变易法”求原方程的通解.
为此,把C₁换成x的函数u,而令y=ue^x.(1)
于是dy/dx=(du/dx)e^x+ue^x.(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
(du/dx)e^x+ue^x-ue^x=ex
于是得(du/dx)e^x=ex,du=(ex/e^x)dx,
故得u=∫(ex/e^x)dx=e∫(x/e^x)dx=e∫xe^(-x)dx=-e(x+1)e^(-x)+C,再代入(1)中即得原方程的通
y=(e^x)[-e(x+1)e^(-x)+C]=-e(x+1)+Ce^x
为了求这个方程的解,先考虑齐次线性方程：
dy/dx-y=0,即有dy/y=dx,积分之得lny=x+lnC₁,于是得其通解为y=e^(x+lnC₁)=C₁e^x,这里C₁为任意常数.下面用“参数变易法”求原方程的通解.
为此,把C₁换成x的函数u,而令y=ue^x.(1)
于是dy/dx=(du/dx)e^x+ue^x.(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
(du/dx)e^x+ue^x-ue^x=ex
于是得(du/dx)e^x=ex,du=(ex/e^x)dx,
故得u=∫(ex/e^x)dx=e∫(x/e^x)dx=e∫xe^(-x)dx=-e(x+1)e^(-x)+C,再代入(1)中即得原方程的通
y=(e^x)[-e(x+1)e^(-x)+C]=-e(x+1)+Ce^x