作业帮已知函数f(x)=x²+a/x
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 11:05:22
已知函数f(x)=x²+a/x
讨论函数f（x）的奇偶性,并说明理由
2.若函数f（x）在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的取值范围
不要导数 怎么算
讨论函数f（x）的奇偶性,并说明理由
2.若函数f（x）在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的取值范围
不要导数 怎么算
(1)∵x≠0,∴f(x)的定义域关于原点对称
f(-x)=x²-a/x
∴当a=0时,f(x)=f(-x),即f(x)是偶函数
当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数
(2)若函数f（x）在x∈[2,+∞）上为增函数
任取x1,x2∈[2,+∞）,且x1＜x2
∴f(x1)-f(x2)
=x1²+a/x1-(x2²+a/x2)
=(x1-x2)(x1+x2)-a(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)[(x1+x2)-a/x1x2]＜0
∵x1-x2＜0
∴(x1+x2)-a/x1x2＞0
∴a＜x1x2(x1+x2)
∵x1x2(x1+x2)＞2×2×(2+2)=16
∴a≤16
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f(-x)=x²-a/x
∴当a=0时,f(x)=f(-x),即f(x)是偶函数
当a≠0时,f(x)是非奇非偶函数
(2)若函数f（x）在x∈[2,+∞）上为增函数
任取x1,x2∈[2,+∞）,且x1＜x2
∴f(x1)-f(x2)
=x1²+a/x1-(x2²+a/x2)
=(x1-x2)(x1+x2)-a(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)[(x1+x2)-a/x1x2]＜0
∵x1-x2＜0
∴(x1+x2)-a/x1x2＞0
∴a＜x1x2(x1+x2)
∵x1x2(x1+x2)＞2×2×(2+2)=16
∴a≤16
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