作业帮 > 数学 > 作业

证明:对于任意的a,b,c,d属于R,恒有不等式(ac+bd)^2

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/23 10:52:51
证明:对于任意的a,b,c,d属于R,恒有不等式(ac+bd)^2
要想让原式成立必须有
(ac+bd)^2≤(a^2+b^2)(c^2+d^2)
a^2c^2+b^2d^2+2abcd≤a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2
必须有a^2d^2-2abcd+b^2c^2≥0
则(ad-bc)^2≥0
上式是成立的,所以原式成立.
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2
=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-a^2c^2-2abcd-b^2d^2
=a^2d^2+b^2c^2-2abcd
=(ad-bc)^2>=0
所以(a^2+b^2)(c^2+d^2)〉=(ac+bd)^2
(ac+bd)^2