函数f(x)=|x+1|+|x+3| 1.求函数的值域和单调区间 2.求证函数图象关于直线x=1对称
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/28 22:28:59
函数f(x)=|x+1|+|x+3| 1.求函数的值域和单调区间 2.求证函数图象关于直线x=1对称
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第二个问题:函数图象关于x=-2对称,并不是关于x=1对称.
一、当x<-3时,f(x)=-(x+1)-(x+3)=-2x-4.
二、当-3≦x≦-1时,f(x)=-(x+1)+(x+3)=2.
三、当x>-1时,f(x)=(x+1)+(x+3)=2x+4.
联立:f(x)=-2x-4、f(x)=2x+4,容易得到:两直线的交点C坐标是(-2,0).
显然,点A(-3,2)在直线f(x)=-2x-4上,点B(-1,2)在直线f(x)=2x+4上,
∴AB∥x轴.
由中点坐标公式,容易得到:AB的中点D的坐标是(-2,2),而点C的坐标是(-2,0),
∴CD⊥x轴,又AB∥x轴,∴CD⊥AB,而AD=BD,∴△CAB是以CA、CB为腰的等腰三角形.
等腰三角形是以底边的垂直平分线为轴对称的,而直线CD是△CAB底边的垂直平分线,
∴CA、CB关于CD对称,∴f(x)=-2x-4、f(x)=2x+4关于x=-2对称.
∴给定的函数图象关于x=-2对称.
第一个问题:
1、当x≦-3时,f(x)=-2x-4单调递减,∴此时函数有最小值=f(-3)=2.
2、当x≧-1时,f(x)=2x+4单调递增,∴此时函数有最小值=f(-1)=2.
3、当-3<x<-1时,f(x)=2.
∴函数的值域是[2,+∞).
函数在(-∞,-3)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增.
一、当x<-3时,f(x)=-(x+1)-(x+3)=-2x-4.
二、当-3≦x≦-1时,f(x)=-(x+1)+(x+3)=2.
三、当x>-1时,f(x)=(x+1)+(x+3)=2x+4.
联立:f(x)=-2x-4、f(x)=2x+4,容易得到:两直线的交点C坐标是(-2,0).
显然,点A(-3,2)在直线f(x)=-2x-4上,点B(-1,2)在直线f(x)=2x+4上,
∴AB∥x轴.
由中点坐标公式,容易得到:AB的中点D的坐标是(-2,2),而点C的坐标是(-2,0),
∴CD⊥x轴,又AB∥x轴,∴CD⊥AB,而AD=BD,∴△CAB是以CA、CB为腰的等腰三角形.
等腰三角形是以底边的垂直平分线为轴对称的,而直线CD是△CAB底边的垂直平分线,
∴CA、CB关于CD对称,∴f(x)=-2x-4、f(x)=2x+4关于x=-2对称.
∴给定的函数图象关于x=-2对称.
第一个问题:
1、当x≦-3时,f(x)=-2x-4单调递减,∴此时函数有最小值=f(-3)=2.
2、当x≧-1时,f(x)=2x+4单调递增,∴此时函数有最小值=f(-1)=2.
3、当-3<x<-1时,f(x)=2.
∴函数的值域是[2,+∞).
函数在(-∞,-3)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增.
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