设f（x）=a0+a1x+...+anx^n为n次整系数多项式,若an、a0、f（1）都为奇数,证明：f(x)=0无有理

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 03:35:52

设f（x）=a0+a1x+...+anx^n为n次整系数多项式,若an、a0、f（1）都为奇数,证明：f(x)=0无有理根

反证：假设有有理根,设为p/q(p,q为互质的整数,且q不等于0）,则(x-p/q)|f(x),因为f(x)为整系数多项式,且在有理数域可约,则可以得到qx-p|f(x)【本原多项式学了吧,如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定可以分解成两个次数较低的整系数多项式,这里f(x)=(x-p/q)g(x),推出f(x)=(qx-p)h(x)成立】,根据定理p|a0,q|an,可知p,q均为奇数f(1)=(q-p)h(1),又f(1)为奇数,h(1),为整数,则q-p为奇数（奇数可约只能是两个奇数之积）而p,q均为奇数,q-p一定为偶数,矛盾,即证
再问：因为(x-p/q)|f(x),所以qx-p|f(x)，这等于说f（x）/(x-p/q)的商，是q的整数倍吧..为什么啊，我是一个高中生，只是爱好数学，所以不大明白...谢谢！！
再答：哈哈，你是高中生，我还以为你是大一的，我是同济数学系大一的，高等代数里这种证明多的很，很自然的就用了一些定理，问一下高中考多项式吗？如果不能理解的话我也没办法，实在不行就上网查查嘛，嘿嘿……上面那个括号里面的定理就是解释这个的，因为f(x)是整系数的，至于为什么又要另一个定理关于本原多项式的高斯引理

a0+0.5a1+.+an/(n+1)=0,证明f(x)=a0+a1x+..+anx^n在(0,1)内至少有1个零根在恒等式(1+X)^n=a0+a1X+a2X^2+……+anX^n（n为偶数）中,a0+a1+a2+……+an=? （a0）＋（a1）/2＋.＋（an）/n＋1＝0证明f（x）＝a0＋a1x＋.＋anx的n次方在开去间0,1内至少有一个已知f（x）=a1x+a2x²+.+anx＾n,且a1,a2.an组成等差数列（n为正整数）,f(1)=n&s 设f(x)是首项系数为1的整系数多项式,f(-1),f(0),f(1)都不能被3整除.证明：f(x)没有有理根一道高中数学的数列题已知函数f（x）=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+……+anx^n（n∈N+）,且y=f(x) 已知f(x)=a1x+a2x+ a3x+…+anx,且a1,a2,a3,…,an组成等差数列（n为正偶数）,又f(1)= 函数f(x)=a1x+a2x^2+.+anX^n,a1,a2,a3,...an成等差数列,n为正偶数,又f(1)=n^2 已知f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+...+anx^n,n为正整数,a1,a2,a3,...an组成等比数列, 已知发f(x)=a1x+a2x方+a3x的3次方+.+anx的n次方,且a1,a2,a3,.an组成等差数列（n为偶数）高数问题证明方程a0+a1x+a2x^2+.+anx^n=x^n+1(ai>0,i=0,1,2,.,n),在区间（0,+ （理）已知（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n