若数列{An}单调增,数列{Bn}单调减,且{Bn-An}的极限是0,证明{An}、{Bn}的极限存在,好像是用闭区间套

若数列{An}单调增,数列{Bn}单调减,且{Bn-An}的极限是0,证明{An}、{Bn}的极限存在,好像是用闭区间套
直接用极限四则运算法则的就别来了

对于数列,一般不涉及区间,这里n=1,2,3,...,趋向无穷大
本题可用反证法证明：
数列{An}单调增,表示A1<A2<...<An；数列{Bn}单调减,表示B1>B2>...>Bn.由此不难知数列{Bn-An}单调减,该数列通项为Bn-An.
假设数列{An}无极限,因单调增,则An→+∞,记为limAn=+∞（n→+∞）；同时假设数列{Bn}有极限,令limBn=p（n→+∞）.于是有lim(Bn-An)=limBn-limAn=p-(+∞)= -∞（n→+∞）,即数列{Bn-An}无极限,这与题设lim(Bn-An)=0矛盾.
假设数列{An}有极限,令limAn=q（n→+∞）；同时假设数列{Bn}无极限,因单调减,则Bn→-∞,记为limBn=-∞（n→+∞）.同上理可得lim(Bn-An)=-∞（n→+∞）,显然也与题设lim(Bn-An)=0矛盾.
假设数列{An}、{Bn}都无极限,则limAn=+∞（n→+∞）,limBn=-∞（n→+∞）.同上理可得lim(Bn-An)=-∞（n→+∞）,也与题设lim(Bn-An)=0矛盾.
综上,假设均不成立,所以数列{An}、{Bn}的极限存在.
再问： 在不知道极限是否存在时是不能用极限四则运算法则的啊，只有极限确定存在时才能用
再答： 对于当x→x0或x→∞时函数f(x)为无穷大，通常就表示函数极限不存在，但为了描述方便也说成函数的极限为无穷大，数学上把这种情况记作limf(x)=∞（x→x0或x→∞）。对于数列，以上概念仍然适用，因为数列是特殊的函数。
再问： 明白了一点，是不是把发散的数列当做是存在极限的数列，只不过极限是无穷大
再答： 正是。要不然很多问题都无法解释或者解释起来费老劲了
再问： 还有一个问题，能不能帮忙解答一下 http://zhidao.baidu.com/question/481863889.html?sort=6#reply-box-1208295724
再答： 　　这里我先用“闭区间套定理”再证明你的第一个问题：数列{An}单调增，则An>A(n-1)；数列{Bn}单调减，则Bn<B(n-1)。假设An>Bn，则An>A(n-1)>...>A1>B1>...B(n-1)>Bn，即有Bn-An<B(n-1)-A(n-1)<...<B1-A1<0，表明数列{Bn-An}是发散的，这与已知条件中数列{Bn-An}的极限是0相矛盾，所以必有An<Bn。而事实上，当An<Bn时，则有A1<...<A(n-1)<An<Bn<B(n-1)<...<B1，即有B1-A1>...>B(n-1)-A(n-1)>Bn-An>0，可见数列{Bn-An}是收敛的。所以对于一个闭区间列{[An，Bn]}，显然区间[An，Bn]⊂[A(n-1)，B(n-1)]⊂...⊂[A1，B1]；而lim(Bn-An)=0；则表明闭区间列{[An，Bn]}形成了闭区间套。由闭区间套定理可知，在实数系中存在唯一点ξ使得ξ∈[An，Bn ]，即An≤ξ≤Bn ，也就是说An和Bn会收敛于这个数ξ，最后也就证明了数列{An}、{Bn}的极限存在。　　
用闭区间套原理证明单调有界定理（单调有界必有极限）相对更简单：构造{[An，M]}即可。