如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连AQ、

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 05:17:35

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点．连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．
（1）求证：△APE∽△ADQ；
（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值，

最大值为多少？
（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）

（1）证明：∵PE∥DQ
∴△APE∽△ADQ；
（2）同（1）可证△APE∽△ADQ与△PDF∽△ADQ，及S_△PEF=
1
2S_{平行四边形PEQF}，
根据相似三角形的面积之比等于相似比得平方，
∴
S△AEP
S△AQD=(
x
3)2，
S△DPF
S△ADQ=(
3−x
3)2，
∵S_△AQD=
1
2AD×AB=
1
2×3×2=3，
得S_△PEF=
1
2S_{平行四边形PEQF}
=
1
2（S_△AQD-S_△AEP-S_△DFP）
=
1
2×[3-(
x
3)2×3-(
3−x
3)2×3]
=
1
2（-
2
3x²+2x）
=-
1
3x²+x
=-
1
3（x-
3
2）²+
3
4．
∴当x=
3
2，即P是AD的中点时，S_△PEF取得最大值
3
4．
（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点．

（1）根据PE∥QD得出的同位角相等即可证得两三角形相似．
（2）由于PE∥DQ，PF∥AQ，因此四边形PEQF是平行四边形，根据平行四边形的性质可知：S_△PEF=

S_{平行四边形PEQF}，可先求出△AQD的面积，然后根据△AEP与△ADQ相似，用相似比的平方即面积比求出△APE的面积，同理可求出△DPF的面积，进而可求出平行四边形PEQF的面积表达式，也就能得出关于S，x的函数关系式，根据函数的性质即可得出S的最大值即对于的x的值．
（3）△ADQ中，AD长为定值，因此要使△ADQ的周长最小，AQ+QD需最小，可根据轴对称图形的性质和两点间线段最短为依据来确定Q点的位置．

如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上一动点（P异于A,D）,Q是BC边上的任意一点,连AQ,D 如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点（P异于A、D）,Q是BC边上的任意一点. 如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点（P异于A、D）,Q是BC边上的任意一点.&nbs 】如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点（P异于A、D）, 几何+二次函数题目,如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边长上的一动点（P异于A、D）,Q是BC边如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,BC=3,点P是AD边上的一动点已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D）,连接PC,过点P作PE⊥PE交A 已知,如图,直角坐标系内的矩形ABCD,顶点A的坐标为（0,3）,BC=2AB,P为AD边上一动点（与点A、D不重合）, 如图所示,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点（不含端点A,D), 如图,在矩形ABCD中,P是BC边上一点,连接DP并延长,交AB的延长线于点Q.①若BP/PC=1/3,求AB/AQ的值如图,已知矩形ABCD,AB=6,BC=8,P是BC边上的一动点,过点D作DE⊥AP与点E,设AP=X,DE=y,则y是 .已知在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝3,P是线段AD边上的任意一点