泰勒公式本来说f(x)有n+1阶导数,就能展成最后一项为o[(x-x0)^n].请问若f(x)只有n阶,能否也能

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/06/01 03:38:14

泰勒公式本来说f(x)有n+1阶导数,就能展成最后一项为o[(x-x0)^n].请问若f(x)只有n阶,能否也能
能否也能展成最后一项为o[(x-x0)^n]?为什么?

结论是可以.不过,如果f(x)只有n阶导数,那么余项只能写成o[(x-x0)ⁿ],而不能写成拉格朗日余项了.这个教材里有介绍（同济大学第6版上册142页最下方的小字）,具体证明就不需要掌握了.
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再问：其实我很想知道是如何证明的
再答：以前从没考虑过这个证明，刚才试着证了一下：下面用f^(n-1)(x)表示f(x)的n-1阶导数设f(x)在x=x0处具有n阶导数（因此f(x)在x0的邻域内具有n-1阶导数），P(x)为f(x)在x=x0处的n级泰勒多项式，下面证明：lim[x→x0] [f(x)-P(x)]/(x-x0)ⁿ=0 证明：由于f(x)在x0的邻域内具有n-1阶导数，则该极限可使用n-1次洛必达法则分母：(x-x0)ⁿ求完n-1阶导数为：n!(x-x0) 分子：p(x)的n-1阶导数为：f^(n-1)(x0)+f^(n)(x0)(x-x0) 因此原极限化为： lim[x→x0] [f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x0)-f^(n)(x0)(x-x0)]/(x-x0) =lim[x→x0] [f^(n-1)(x)-f^(n-1)(x0)]/(x-x0) - f^(n)(x0) 前面这个极限刚好是x=x0处的n阶导数定义 =f^(n)(x0) - f^(n)(x0) =0 因此f(x)-P(x)是(x-x0)ⁿ的高阶无穷小。请采纳。

泰勒公式中为啥f(x)-pn(x)/(x-x0)∧n的极限等于0就说明有n＋1阶导数? f（x）=x/（x+1）,当x0=2时,求其n阶泰勒公式在泰勒公式中,并没有明确证明为什么f(x)与P(n)直到n阶导数都相同,P(n)就能近似表示f(x). 带佩亚诺余项的泰勒公式,最后一项是(x-x0)n次方的高阶,若x代一个离x0较远的数,使(x-x0)＞1,那么,这个余项高数!泰勒公式!1.将函数f（x）=1/x在X0=1附近展成n阶泰勒公式2.求函数f(x)=xe^x的n阶麦克劳林公式高数泰勒公式的疑问!带皮亚诺余项的泰勒公式,有n阶导数,但我只求三阶泰勒公式,f(x)能等于这个带皮亚诺余项的三阶泰勒公泰勒公式泰勒中值定理：若函数f(x.)在含有x的开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为在泰勒中值定理中“f(x)在x0的某个邻域内有直到n+1阶的导数”这句话怎么理解? 泰勒公式展开式在0点的展开式不就是 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+...Fn(x0)/n!(x-x0 求f(x)=x^2sinx在x=0处的n阶导数,用泰勒公式泰勒公式中的多项式泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一泰勒中值定理设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(x-x0)的n次多项式Pn(x)