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已知动直线y=kx交圆(x-2)^2+y^2=4于坐标原点O和点A,交直线x=4于点B,若动点M满足向量OM=向量AB,

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/01 07:10:04
已知动直线y=kx交圆(x-2)^2+y^2=4于坐标原点O和点A,交直线x=4于点B,若动点M满足向量OM=向量AB,动点M的轨迹C的方程为F(x,y)=0
(1)试用k表示点A,点B的坐标
(2)求动点M的轨迹方程F(x,y)=0
(1) 将y=kx代入(x-2)^2+y^2=4
得:(x-2)^2+(kx)^2=4
舍去x=0,y=0的情况
整理得:(1+k^2)x=4
所以:
x=4/(1+k^2)
y=4k/(1+k^2)
即A(4/(1+k^2) ,4k/(1+k^2))
将x=4代入y=kx
则B(4 ,4k)
k为任意实数
(2)
设点M坐标为(x,y)

x^2+y^2=(4k-4k/(1+k^2))^2+(4-4/(1+k^2))^2
整理得
x^2+y^2-(16k^4)/(k^2+1)=0
即F(x,y)=x^2+y^2-(16k^4)/(k^2+1)=0
因为 点O,A,B都在直线y=kx上,A点始终在B点左侧,或重合(重合时k=0)
若要满足向量OM与向量AB通向,则M点只能在y轴右侧或与O点重合
则F(x,y)=0,其中x>=0