作业帮交错级数及其审敛法（含绝对收敛与条件收敛）三道题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 06:45:24
交错级数及其审敛法（含绝对收敛与条件收敛）三道题
这个页面中包含了需要求解的三道题,分别为判定级数收敛性一道、证明绝对收敛两道.
不要用IE浏览器，会出现重复刷新的问题。使用Firefox和Chrome浏览则不会出现此问题。
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1、通项加绝对值,用比值法,U(n+1)/Un＝2n(2n+1)/(2n+2)→＋∞(n→∞),所以原级数发散
3、只需说明条件一可以推出结论即可,因为条件二、三都可以推出条件一.
an有界,则存在正数M,使得|an|≤M,所以|anbn|≤M×|bn|,∑|bn|收敛,由比较法,级数∑|anbn|收敛,级数∑anbn绝对收敛.
2、借用第三题,只要说明ntan(1/n)有界,∑a(2n)收敛.
ntan(1/n)的极限是1,所以有界.
∑an收敛,则部分和数列Sn单调增加有上界,而∑a(2n)的部分和数列Tn满足Tn≤S(2n),所以Tn也是单调增加有上界的,所以∑a(2n)收敛.
再问： 不好意思，第一个问题打错了，应该是这样的：级数的每一项分子为奇数连积，分母为偶数连积。
再答： 哦。那级数是条件收敛。设那个比值为Un。 把Un写成Un＝1/2×3/4×5/6×...×(2n-1)/2n，根据(2n-2)/(2n-1)＜(2n-1)/2n＜2n/(2n+1)，进行放大或缩小： Un^2＝1/2×1/2×3/4×3/4×5/6×5/6×...×(2n-1)/2n×(2n-1)/2n＜1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×...×(2n-1)/2n×2n/(2n+1)＝1/(2n+1)，所以Un＜1/√(2n+1) Un^2＝1/2×1/2×3/4×3/4×5/6×5/6×...×(2n-1)/2n×(2n-1)/2n＞1/2×1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×...×(2n-2)/(2n-1)×(2n-1)/2n＝1/(4n)，所以Un＞1/2×1/√n。（n≥2时） 由Un＝12/×1/√n知道：通项加绝对值后，级数发散，即原级数不绝对收敛。 再用莱布尼兹法判断原级数收敛。0＜Un＜1/√(2n+1)，所以Un的极限是0。U(n+1)/Un＝(2n+1)/(2n+2)＜1，所以{Un}单调减少。所以级数本身是收敛的。 综上，原级数条件收敛。
3、只需说明条件一可以推出结论即可,因为条件二、三都可以推出条件一.
an有界,则存在正数M,使得|an|≤M,所以|anbn|≤M×|bn|,∑|bn|收敛,由比较法,级数∑|anbn|收敛,级数∑anbn绝对收敛.
2、借用第三题,只要说明ntan(1/n)有界,∑a(2n)收敛.
ntan(1/n)的极限是1,所以有界.
∑an收敛,则部分和数列Sn单调增加有上界,而∑a(2n)的部分和数列Tn满足Tn≤S(2n),所以Tn也是单调增加有上界的,所以∑a(2n)收敛.
再问： 不好意思，第一个问题打错了，应该是这样的：级数的每一项分子为奇数连积，分母为偶数连积。
再答： 哦。那级数是条件收敛。设那个比值为Un。 把Un写成Un＝1/2×3/4×5/6×...×(2n-1)/2n，根据(2n-2)/(2n-1)＜(2n-1)/2n＜2n/(2n+1)，进行放大或缩小： Un^2＝1/2×1/2×3/4×3/4×5/6×5/6×...×(2n-1)/2n×(2n-1)/2n＜1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×6/7×...×(2n-1)/2n×2n/(2n+1)＝1/(2n+1)，所以Un＜1/√(2n+1) Un^2＝1/2×1/2×3/4×3/4×5/6×5/6×...×(2n-1)/2n×(2n-1)/2n＞1/2×1/2×2/3×3/4×4/5×5/6×...×(2n-2)/(2n-1)×(2n-1)/2n＝1/(4n)，所以Un＞1/2×1/√n。（n≥2时） 由Un＝12/×1/√n知道：通项加绝对值后，级数发散，即原级数不绝对收敛。 再用莱布尼兹法判断原级数收敛。0＜Un＜1/√(2n+1)，所以Un的极限是0。U(n+1)/Un＝(2n+1)/(2n+2)＜1，所以{Un}单调减少。所以级数本身是收敛的。 综上，原级数条件收敛。