已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在X轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1,（1）椭圆C的标准方程；

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 12:23:47

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在X轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1,（1）椭圆C的标准方程；
(2)若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A.B两点（A.B不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线L过定点,并求出该定点的坐标.

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在X轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1,（1）椭圆C的标准方程；(2)若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A.B两点（A.B不是左右顶点）,且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证：直线L过定点,并求出该定点的坐标.
（1）根据题意a-c=1,a+c=3
所以a=2,c=1,b²=3
椭圆方程：x²/4+y²/3=1
（2）因为A,B不是左右顶点,所以k不等于0
根据题意,AB为直径,设A（x1,y1）B（x2,y2）
圆过右顶点（2,0）则(y1-0)/(x1-2)*(y2-0)/(x2-2)=-1
y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0(1)
将直线y=kx+m代入椭圆,整理(4k²+3)x²+8kmx+4m²-12=0
韦达定理：x1+x2=-8km/(4k²+3),x1*x2=(4m²-12)/(4k²+3)
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k²x1x2+km(x1+x2)+m²
以上均代入(1)
(k²+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m²+4=0
整理：7m²+16km+4k²=0
(7m+2k)(m+2k)=0
m=-2k/7或m=-2k
那么直线为y=kx-2k/7或y=kx-2k
即y=k(x-2/7)或y=k(x-2)
即过定点（2/7,0）或（2,0）