证明九点圆求证：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 20:03:15

证明九点圆
求证：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆

Baidu百科里面看到的...这不是我修改过的词条么...
最简单的方法是以H(垂心)为位似中心 1/2为位似比作位似变换.
简单的说就是对于平面上的任何一个点X 把它变成H与X的中点X'
也可以理解为按比例缩小
通过这样的变换我们发现所有的三角形的顶点都变成了欧拉点.
以H和某两个顶点(比如B和C)作一个平行四边形HBL'C 那么由于∠BL'C=∠BHC
所以∠BL'C+∠BAC=180°于是ABCL'四点共圆.L'在△ABC的外接圆上.L'变成了L
而H关于某条边(如BC)的对称点D' 也由于∠BD'C=∠BHC
所以∠BD'C+∠BAC=180°于是ABCD'四点共圆.D'在△ABC的外接圆上.D'变成了D
也就是说在这个位似变换下,有九个在△ABC的外接圆上的点,ABC三点,类似L'的三点,类似D'的三点,一共九个点都在△ABC的外接圆上,他们变成了三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点.当然这九个点都在一个圆上,这个圆就是△ABC的外接圆通过变换后得到的圆---九点圆

如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长可能是（　　）问一道数学题：证明：顺次连接三角形三边中点所得的三角形与原三角形相似,并求相似比以三角形的三个顶点及三边中点为顶点的平行四边形共有（　　）用行列式证明以三角形三边中点为顶点的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一 q291967968 根据题意画图,并写出已知,求证.（1）连结三角形两边中点的线段平行于第三边,并等于第三边一半已知三角形ABC的周长为a,连结ABC的三边中点,构成第2个三角形,再连结第二个三角形三边中点构成第在三角形ABC中,AB的中点是E,AC的中点是F 求证三角形边中点连线平行于第三边用反证法证明已知三角形ABC内接与圆O,D,E,F分别为三角形ABC三边的中点.求证：三角形ABC的外心O是三角形ABC的垂心用解析几何方法证明三角形两边中点所连线段平行于第三边且等于第三边的一半三角形的三边长分别是3cm,5cm,6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是（）cm 三角形界心存在证明过三角形三个顶点分别作三条线,使得每一条线将三角形周长分为相等的两部分,求证这三线交于一点.（请用相似 △ABC的周长为1,连接△ABC三边重点构成第二个三角形,再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形