求解求证几道关于定积分的题目

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 10:52:55

求解求证几道关于定积分的题目
∫x^2（1-x^2)^0.5dx {上限是1,下限是0}
2)设在上连续,证明：∫f(x)dx=(b-a)∫f[a+(b-a)x]dx {左上限是b,左下限是a,右上限是1,右下限是0}
3)证明：∫x^m(1-x)^ndx=∫x^n(1-x)^mdx {左上限是1,左下限是0,右上限是1,右下限是0}
4)利用换元积分法证明：∫xf(sinx)dx=∏∫f(sinx)dx {左上限是∏,左下限是0,右上限是∏/2,右下限是0}
1)中开根号不会定...所以用了^0.5代替;
4)∏/2、 ∏是二分之派和派...是这个吧...
望高手不吝赐教~
因为有限定,所以目前是100分...有解答的话我会再追加每道50分的~

1)
设x=cost,
则原式
=∫(Pi~0) cost^2sintd(cost)
=∫(0~Pi) sint^2cost^2dt
=∫(0~Pi) [1-cos(4t)]/8dt
=[t/8-sin(4t)/32] |(0~Pi)
=Pi/8
2)
右边换元x=(t-a)/(b-a)既得左边,得证.(过程从略)
3)
同上题做法,右边换元x=1-t即可.
4)
左边
=∫(0~Pi) xf(sinx)dx
=∫(0~Pi/2)xf(sinx)dx+∫(Pi/2~Pi)xf(sinx)dx (后面的积分做换元x=Pi-t)
=∫(0~Pi/2)xf(sinx)dx+∫(0~Pi/2)(Pi-t)f(sint)dt
=Pi∫(0~Pi/2)f(sinx)dx
=右边,得证.

关于用定积分定义求解数列和式极限或定积分题目思路的疑问, 几道关于定积分的问题一道定积分的题目,求解! 关于定积分的题目关于定积分定义的题目, 关于高等数学定积分的题目【请教一道关于定积分的题目~】求这种类型定积分的题目的求解思路关于集合的几道题目,求解. 求解一道高数的定积分题目求解定积分题目如图求解一道关于定积分的证明题