数列{an}的前n项和为Sn,an>0,且Sn=1/6*(an+1)(an+2),其中a2,a4 ,a9成等比数列.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/24 08:44:05
数列{an}的前n项和为Sn,an>0,且Sn=1/6*(an+1)(an+2),其中a2,a4 ,a9成等比数列.
(1)求an
(2)设bn=(-1)的n+1次方*an*an+1 ,求{bn}的前n项和Tn.
(1)求an
(2)设bn=(-1)的n+1次方*an*an+1 ,求{bn}的前n项和Tn.
(1)由已知Sn=1/6(an+1)(an+2)
得S{n}=1/6 a{n}²+1/2 a{n}+1/3——①
∴S{n+1}=1/6 a{n+1}²+1/2 a{n+1}+1/3——②
②﹣①得
a{n+1}=1/6【a{n+1}²﹣a{n}²】+½【a{n+1}﹣a{n}】——③
移项,并用平方差公式得
0=1/6【a{n+1}+a{n}】【a{n+1}﹣a{n}】—½【a{n+1}+a{n}】
分解因式得
【a{n+1}+a{n}】【1/6 a{n+1}﹣1/6 a{n}﹣½】=0——④
∴a{n+1}+a{n}=0——⑤,由a{n}>0,⑤舍去
或1/6 a{n+1}﹣1/6 a{n}﹣½=0
即a{n+1}=a{n}+3——⑥
⑥式说明{an}是以3为公差的等差数列,故a{n}=3(n-1)+a1——⑦
又由a2,a4,a9成等比数列得
a4²=a2×a9
即(9+a1)²=(3+a1)(24+a1)——⑧
解关于a1的方程⑧得a1=1(它也满足方程①)
∴a{n}=3n﹣2
(2)b{n}=(-1) ^(n+1)×an² +1=(-1) ^(n+1)×(3n﹣2)²+1
=(-1) ^(n+1)×(9n²﹣12n+4)+1——⑨
求和,Tn=9∑(-1)^ (n+1)×n² ﹣12∑(-1) ^(n+1)×n +4∑(-1)^(n+1) +n——⑩
第一个和式等于9(1﹣2²+3²﹣……);第二个和式等于﹣12(1﹣2+3﹣4+5﹣……)
1)n为奇数
第一个和式为9【1+(3²﹣2²)+(5²﹣4²)+……+(n²﹣(n-1)²)】
=9(1+5+9+13+……+2n﹣1)
=9/2×n(n+1)
第二个和式为﹣12【1+(3﹣2)+(5﹣4)+……+(n﹣(n-1))】
=﹣12×1×½(n+1)=﹣6(n+1)
此时Tn=9/2×n(n+1)﹣6(n+1)+4+n=9/2 n²﹣½n﹣2
2)n为偶数
用同样的方法得Tn=9/2×n(n+1)﹣6n+n
=9/2 n²﹣½n
得S{n}=1/6 a{n}²+1/2 a{n}+1/3——①
∴S{n+1}=1/6 a{n+1}²+1/2 a{n+1}+1/3——②
②﹣①得
a{n+1}=1/6【a{n+1}²﹣a{n}²】+½【a{n+1}﹣a{n}】——③
移项,并用平方差公式得
0=1/6【a{n+1}+a{n}】【a{n+1}﹣a{n}】—½【a{n+1}+a{n}】
分解因式得
【a{n+1}+a{n}】【1/6 a{n+1}﹣1/6 a{n}﹣½】=0——④
∴a{n+1}+a{n}=0——⑤,由a{n}>0,⑤舍去
或1/6 a{n+1}﹣1/6 a{n}﹣½=0
即a{n+1}=a{n}+3——⑥
⑥式说明{an}是以3为公差的等差数列,故a{n}=3(n-1)+a1——⑦
又由a2,a4,a9成等比数列得
a4²=a2×a9
即(9+a1)²=(3+a1)(24+a1)——⑧
解关于a1的方程⑧得a1=1(它也满足方程①)
∴a{n}=3n﹣2
(2)b{n}=(-1) ^(n+1)×an² +1=(-1) ^(n+1)×(3n﹣2)²+1
=(-1) ^(n+1)×(9n²﹣12n+4)+1——⑨
求和,Tn=9∑(-1)^ (n+1)×n² ﹣12∑(-1) ^(n+1)×n +4∑(-1)^(n+1) +n——⑩
第一个和式等于9(1﹣2²+3²﹣……);第二个和式等于﹣12(1﹣2+3﹣4+5﹣……)
1)n为奇数
第一个和式为9【1+(3²﹣2²)+(5²﹣4²)+……+(n²﹣(n-1)²)】
=9(1+5+9+13+……+2n﹣1)
=9/2×n(n+1)
第二个和式为﹣12【1+(3﹣2)+(5﹣4)+……+(n﹣(n-1))】
=﹣12×1×½(n+1)=﹣6(n+1)
此时Tn=9/2×n(n+1)﹣6(n+1)+4+n=9/2 n²﹣½n﹣2
2)n为偶数
用同样的方法得Tn=9/2×n(n+1)﹣6n+n
=9/2 n²﹣½n
已知数列{An}的各项均为正数,它的前N项和Sn满足Sn=1/6(An+1)(An+2),并且A2,A4,A9成等比数列
已知数列{An}的各项均为正数,前n项和Sn满足6Sn=An^2+3An+2,若A2,A4,A9成等比数列,则数列{an
数列an的前n项和为sn满足2sn=n(an+2)且a2,a5,a9成等比数列
已知数列{an}的各项均为正数,它的前n项和Sn满足Sn=16(an+1)(an+2),并且a2,a4,a9成等比数列.
已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列,求数列{2^an}的前n项和Sn
.等差数列an的前n项和为sn,a2,1/2a4,a7-1成等比数列,且s15=0求数列同项公式
数列{an}前n项和为Sn,且an+Sn=-2n-1 证明{an+2}是等比数列
已知数列an的前n项和为sn,且sn+an=1/2(n2+5n+2)(2属于n*) 计算a1 a2 a3 a4
数列(An)的前n项和为Sn,且A1=1,An+1=1/3Sn,n=1,2,3.,求A2,A3,A4的值及数列(An)的
已知数列{an}的前n项和为Sn,an>0(n属于N),Sn=1/2(an+1/an)(1)计算a1,a2,a3,a4,
已知数列{an}的前N项和为Sn与an满足:an,Sn,Sn-1/2(n大于2)成等比数列,且a1=1,求Sn
数列{an}的前n项和为sn且a1=1 an+1=1/3sn求a2,a3,a4及an