如图1．小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/29 06:39:22

如图1．小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．

（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度；
（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）．

（1）∵AB=EG=DC=5，AD=BC=4，
∴CE=
BE2−BC2=
52−42=3，DE=CD-CE=5-3=2，
∴AE=
AD2+DE2=
42+22=2
5；
∵AB=EG，
∴∠BAE=∠BEA，
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠AED
在△EFG和△AED中，∠BAE=∠AED，∠FBE=∠ADE=90°，
∴△EFG∽△AED，
那么，
FG
EB＝
AD
DE，
∴FG=
AD•EB
DE＝
4×5
2=10；

（2）分两种情况：

①是x平移距离小于4时，如图3-1，EF与AB相交于P，过P作PQ⊥EG于Q点，
∵△EFG的直角边FG=10，EG=5，
∴tanα=
EG
FG=
5
10=
1
2，
∵∠FGE=90°，
∴PQ∥FC，四边形PQGB是矩形，
∴∠EPQ=∠F，
根据这个正切值，可求出相应的线段的数值，
得出，FB=FG-BG=10-x，BP=
FB
2＝
10−x
2，PQ=x，EQ=
x
2，
∴重叠部分y=PB•BG+
1
2BG•EQ=
(10−x)x
2+
1
2x×
x
2=-
1
4x²+5x，

②是x平移距离大于4时，如图3-2，EF与AB相交于P，与CD相交于R，
∴y=PB•BC+
1
2PQ•RQ=
4(10−x)
2+
1
2×4×2=24-2x，
当重叠部分面积为10时，即y=10分别代入两等式，
-
1
4x²+5x=10，
解得：x=10+2
15（不合题意舍去）或x=10-2
15，
y=24-2x=10得出，x=7，
∴当0≤x≤4时，y=-
1
4x²+5x，
当4＜x≤10时，y=-2x+24，
∴当y=10时，x=7或x=10-2
15．