f(x)在[0,a]上连续,则∫(上限是a下限是0)x^3f(x^2)dx=?为什么是(1/2)∫(上限是a^2下限是0

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 06:58:10

f(x)在[0,a]上连续,则∫(上限是a下限是0)x^3f(x^2)dx=?为什么是(1/2)∫(上限是a^2下限是0)xf(x)dx

Prove that：∫[0->a] x³ f(x²) dx = (1/2)∫(0->a²) x f(x) dx
Let u = x² and x = √u,then dx = 1/(2√u) du
x = 0,u = 0；x = a,u = a²
RHS = ∫[0->a²] (√u)³ * f(u) * 1/(2√u) * du
= (1/2)∫[0->a²] u^(3/2 - 1/2) * f(u) du
= (1/2)∫[0->a²] u f(u) du
= (1/2)∫[0->a²] x f(x) dx
= LHS
再问：很感谢你的答案谢谢，能再帮我解答以这道题吗？我主要是不知道[f(x)]'等于什么前面我已经解出来了，谢谢了 y={f(sinx)+f(x^2)+[f(x)]}则y'=cosxf'(sinx)+2xf'(x^2)+?
再答： [f(x)]' = f'(x) * x' = f'(x)，有啥问题？

∫上限是0,下限是x f(x)dx=sin^2x 求f(∏/4)=? 设f(x)是以T为周期的连续函数,证明:∫(a为下限,a+T为上限）f（x）dx=∫f（x）dx (上限是T,下限是0) 设f(x)在区间[a,b]上连续,证明∫上限a,下限b.f(x)dx=∫上限a,下限bf(a+b-x)dx. 急.f(x)为连续的偶函数,求证∫（上限为a,下限为-a）f(x)dx=2∫（上限为a,下限为0）f(x)dx 设f(x)是[0,1]上的连续函数且f(x)=x^2 +不定积分(下限0,上限1)∫xf(x)dx 设f(x)是连续函数,且f(x)=x^2+2∫上限1下限0f(t)dt,试求：(1)∫上限1下限0f(x)dx;求详解? ∫x^3*e^x^2 dx 上限是1下限是0 计算反常积分∫1/(x+2)(x+3)dx 上限是+∞ 下限是0 计算二重积分 ∫（上限是1,下限是0）*dx ∫(上限是2,下限是0）(3-x-y)*dy=? 设函数f(x)连续,求d/dx∫(x^2-t)f(t)dt,上限是x^2 下限是0 若函数f(x)连续,且F(X)的导数等于f(x),求∫f(t+a)dt,其中积分上限是x,积分下限是0, f(x)在[a,b]连续,且f(0)>0,求证 ln[1/(b-a)∫下限a上限bf(x)dx]>[1/(b-a)∫下限