（2009•黄石）如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 08:59:36

（2009•黄石）如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是,则说明理由．
（3）当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?

1、如图1因为EF//BC,所以∠CEO=∠BCE,∠OFC=∠FCG,
又因为∠BCE=∠ECO, ∠OCF=∠FCG,
所以∠CEO=∠ECO,则OE=OC,
同理∠OCF=∠OFC,则OF=OC,所以OE=OF.
2、因为∠ECO=1/2∠BCA, ∠FCO=1/2∠GCA,
所以∠ECF=1/2(∠BCA+∠GCA)=1/2*180°=90°,
所以△ECF为直角三角形,则EF必大于CF.
而菱形必须四边相等,所以四边形BCFE肯定不会是菱形.
3、要四边形AECF为正方形,先要求AECF为矩形,
根据对角线互相平分的四边形为平形四边形判定定理,
因为OE=OF,只要OA=OC,则AECF为平形四边形,
又因为∠ECF=90°,则AECF为矩形.
根据对角线垂直的矩形为正方形的判定定理,
只要AC⊥EF,则AECF为正方形,
因为EF//BC,所以AC必须垂直于BC,
根据以上结论得到,必须O为AC中点,而且要满足∠BCA=90°时,
四边形AECF才为正方形.