某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB⊥BC，OA∥BC，且

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/05 04:25:29

某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区．已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在AB，BC上，且一个顶点落在曲线段OC上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1km²）．

以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）
依题意可设抛物线的方程为x²=2py，且C（2，4）．∴2²=2p•4，∴p=
1
2．
故曲线段OC的方程为y=x²（0≤x≤2）．
设P（x，x²）（0≤x≤2）是曲线段OC上的任意一点，则|PQ|=2+x，|PN|=4-x²
∴工业园区面积S=|PQ|•|PN|=（2+x）（4-x²）=8-x³-2x²+4x．
∴S′=-3x²-4x+4，令S′=0⇒x₁=
2
3，x₂=-2，又∵0≤x＜2，∴x=
2
3．
当x∈[0，
2
3）时，S′＞0，S是x的增函数；
当x∈（
2
3，2）时，S′＜0，S是x的减函数．
∴x=
2
3时，S取到极大值，此时|PQ|＝2+x＝
8
3，|PN|＝4−x2＝
32
9，
S=
8
3×
32
9=
256
27≈9.5（km²）．而当x=0时，S=8．
所以当x=
2
3即|PQ|＝
8
3，|PN|＝
32
9，矩形的面积最大为S_max=9.5（km）²．
答：把工业园区规划成长为
32
9km，宽为
8
3km时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5（km）²．

已知：如图所示，在矩形ABCD中，E为DC上的一点，BF⊥AE于点F，且BF=BC，求证：AE=AB．已知矩形ABCD中,AB=2,BC=2根号3,O是AC上一点,OA=m,且圆O的半径为1 已知空间四边形OABC中,OA=OC,BA=BC,点E,F,G,H分别为OA,AB,BC,CO的中点求证EFGH是矩形. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，EF∥BC且AE=2EB，G为BC中点，K为△ADF的外心，沿EF将矩形折成一已知矩形ABCD的边AB=4cm，BC=3cm，如图所示，矩形的顶点A，B为某一椭圆的两个焦点，且椭圆经过矩形的另外两个某住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积．某住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=6米,BC=8米,CD=24米,DA=26米,且AB⊥BC,求这块草坪的面积已知OA是圆O的半径,OC⊥OA,且交弦AB于D,BC=DC.求证:BC是圆O的切线已知矩形ABCD中,AB=2,BC=2根号3,O是AC上一点,OA=m,且圆O的半径为1 1线段AB与圆O没有公共点时, （2014•重庆三模）某同学的数学研究性学习课题是：在校内一块不规则土地OABC（测绘图如图所示）规划一个矩形运动场地．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．如果AB=3，那么BC的长为______．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF．若AB＝3,则BC的长为根号3